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文档简介

1、1,2-2 函数的解析性和指数函数,一、函数解析的概念和充要条件 二、解析函数的运算性质 三、指数函数,2,一类函数具有如下特征： 函数不仅在该点可导，而且在该点 的某个领域 内处处可导由此我们想将具有此特征的函数从复变函数中的可导函数类中分离出来研究,3,定义 设函数 定义在区域D 内, 若 存在一个邻域 ，使得函数 在该邻域内处处可导，则称函数在点 解析此时称点 为函数的解析点若函数在点 不解析，则称为函数的奇点,4,定义 若函数在区域D内每一点都解析，则称函数在区域D内解析此时，也称函数在区域D内是解析的，区域D又叫做函数的解析区域或解析域 解析与可导的关系：若函数 在点 解析，则 在点

2、 可导反之，未必！,5,例1 函数 （ n为自然数）在复平面上处处可导，且,函数 在复平面解析,6,例2 设 定义在复平面上，于复平面上仅在原点可导,函数 在点 不解析，即点 为奇点,例3 可证得函数 在复平面上处处不可导该函数在复平面上是一个处处连续,但又处处不可导的函数.,7,设 ,试问 与 在复平面是否是解析的若令 试寻找 四者之间的关系，并问 四者之间是否也有这种关系？,在复平面是解析的并且有,8,Q 证明如果 在区域 内解析，并且 在 内 为常数，则 为常数。 Q 判别函数 的解析点。,9,调和函数和解析函数的关系,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一

3、，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解法：从已知条件出发求u和v的偏导数，利用C-R条件证明u和v都是实常数，从而得证f(z)是复常数。,解: (2)若f(z)=u+iv，,若它们同时解析，那么它们都满足C-R条件，即,可得 ，即u和v在D内是实常数， 所以f(z)是复常数。,10,调和函数和解析函数的关系,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解: (3)由于|f(z)|在D内为常数，令|f(z)|2=u2+v2=C,对x,y求偏导数得,方程联立得u2+v2=0 或,由C-R条件,积分得u=v=0 或 u=C1,v=C2,所以f(z)=C1+iC2,11,调和函数和解析函数的关系,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解: (4)设 ， 为实常数，,则 ，两边对x,y求偏导数得,由C-R条件,积分得u=C1,v=C2,所以f(z)=C1+iC2是任意复常数,方程联立得,12,设函数f(z)在区域D内解析，证

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