八年级数学上册 勾股定理逆定理学案(新版)北师大版

1、勾股定理逆定理一、 引入在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5有下面的关系“324252”那么围成的三角形是直角三角形二、新知1.活动（1）用圆规、刻度尺作ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量C。（2）再画一个三角形，使它的三边长分别是5、12、13，这个三角形有什么特征？2.探究在下图中，ABC的三边长，满足。如果ABC是直角三角形，它应该与直角边是，的直角三角形

2、全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形ABC， 使C=90，AC=，BC=。把画好的ABC 剪下，放到ABC上，它们重合吗？试用三角形全等的方法证明。3.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。对于任意的三角形，如果它的三边分别为a、b， c，且满足a2+b2=c2 ，则该三角形为直角三角形BbcCAa几何语言：在RtABC中，a2+b2=c2（已知）C=90（勾股定理逆定理）【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。（3）利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 先找

3、出最大边（如c） 计算与，并验证是否相等。 若=，则ABC是直角三角形。4勾股数组若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。 ，均为基本勾股数组。二、典型例题类型一：判断三角形的形状例1 如图1，中，求证：是直角三角形变式1判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。（1）9、41、40； （2）5、5、5； （3）、； （4）、；（5）、 2适合下列条件的ABC中，直角三角形的个数为（ ） （1）， （2）， （3） （4）， （5）， A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例2 若a、b、c是ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状。

4、变式1、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形的形状？2、若的边a,b,c满足，则ABC是什么三角形3、若三角形ABC的三边长a,b,c满足a+b+c+50=6a+8b+10c,那么三角形ABC是什么三角形，它的面积为多少？类型二：求三角形的边长例2 如图2，在中，D是BC边上的点，已知，求DC的长。变式1、ABCD如图所示，在ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求ABC的面积。2、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？3、如图所示，在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上

5、的中线AD=6，求ABC的面积。 类型三：求四边形的面积例3 如图，四边形ABCD，已知A=900，AB=3，DA=4，BC=12，CD=13。求四边形的面积。ABDC 变式1、已知四边形ABCD中，B=900 ，AB:BC:CD:AD=2:2:1:3 , 求四边形ABCD的面积。2、四边形ABCD中，已知ACDC，ACD的面积为30cm2 ，DC=12cm ，AB=3cm ，BC=4cm , 求ABC的面积 类型四 求角的度数例4 如图所示：设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数。 变式1、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求APB

6、的读数。 2、如图，P为等边ABC内的一点，以PB为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 类型五 证明垂直例5 如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AEEF。 变式如图E F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点.AB=4,CE=1/4BC,F为CD的中点.连接AF、AE。AEF是什么三角形？说明理由。 中考链接：（2014滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.

7、1， ，3 D.2,3,4（2012广西）已知三组数据2,3,4 3,4,5 1，2分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ） A. B. C. D.培优：1、已知ABC中，AD为BC边上的高，且AD2=BDDC，求证：ABC是直角三角形。2、如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M，N，使MCN=45，记AM=m，MN=n，BN=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状？ 3、如图所示，已知ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点，求证：。ABCD4、 已知a,b,c是直角三角形的三条边，abc ,斜边上的高为h，则下列说法正确的是_a2+b2+h4=(a2+b2+1)h2 b4+c2h2=b2c2 由可以构成三角形 直角三角形的面积的最大值为课后作业 一填空题1.以ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是_三角形2. 在ABC中，AB=13，AC=20，高AD=12，则BC的长为_3. 若五根小木棍的长分别为5cm,9cm,12cm,13cm,15cm,任选三根组成的三角形是直角三角形的概率_二 选择题4.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:_ A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;C.是钝角三角形; D. 是等腰直角三角