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1、第一章 晶体结构 第三节 材料结构基础（二） 一、晶体结构 二、倒易点阵 三、晶带 陈学安: ,一、晶体结构 1.空间点阵的概念 晶体: 组成它的原子（或离子、分子、原子团等）有规则排列的固体,点阵：为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）抽象视为一个几何点（称为阵点），从而得到一个按一定规则排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶体点阵，简称点阵,点阵,2.阵胞与点阵类型 阵胞(晶胞)：在点阵中选择一个由阵点连接而成的几何图形(一般为平行六面体)作为点阵的基本单元来表达晶体结构的周期性，称为阵胞(晶胞),阵胞,点阵,点阵,阵胞,阵胞的描述: 平行六面体的阵胞由表示

2、其形状与大小的3个矢量a、b、c来描述。 a、b、c称为单位阵胞矢量（点阵基矢）。,为b、c边夹角 为a、c边夹角 为a、b边夹角,点阵常数: 矢量a、b、c 的长度（即阵胞三个棱边的长度a、b、c）+ 矢量间的夹角 、 、 ,注意:晶体学上的坐标系均采用右手定则,例如，NaCl点阵常数: a = b = c = 5.62 ; = = = 90 TiO2 (金红石) 点阵常数: a = b = 4.59 , c= 2.96 , = = = 90,阵胞在空间的重复堆砌 空间点阵,阵胞与点阵的关系:,a,b,c,o,以阵胞任一阵点为坐标原点，以a、b、c分别为三坐标轴单位矢量由原点向任一阵点（坐标

3、x,y,z)的连接矢量为rxyz，则: rxyz = xa + yb + zc,r133 = a+3b+3c,阵胞的选取原则： 能同时反映出空间点阵的周期性和对称性； 在满足的条件下，有尽可能多的直角； 在满足和的条件下，体积最小。,布拉菲的研究表明，按上述三原则选取的阵胞只能有14种，称为14种布拉菲点阵。,按阵胞中阵点位置的不同，14种布拉菲点阵可分为4种点阵类型（P、C、I、F）：,简单点阵，P 八个顶点上有阵点，每个阵胞占有一个阵点，阵点坐标为000,除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为000，1

4、/2 1/2 0,底心点阵，C,除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点, 其坐标为: 000，1/2 1/2 1/2,体心点阵，I,除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为: 000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2,面心点阵, F,按阵胞形状的不同， 14种布拉菲点阵可归纳为7个晶系：,立方晶系a=b=c=90 四方晶系a=bc=90 正交晶系abc=90 三方晶系a=b=c=90 六方晶系a=bc=90, =120 单斜晶系abc =90, 90 三斜晶系abc 90,3.晶体结构与空间点阵 若将组成晶体的原

5、子（离子、分子等，以下称为结构基元）置于点阵的各个阵点上，则将还原为晶体结构，即： 晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元,NaCl结构,+,=,Na+ Cl-,+,空间点阵 + 结构基元 = 晶体结构,空间点阵,结构基元,晶体结构,注意：虽然空间点阵只有14种，但由于结构基元的多样性（可能是同种或异种原子、离子，也可能是分子、原子团等），因而每一种点阵因结构基元不同可表示多种晶体结构,例：Cu和NaCl 同属面心F点阵，因结构基元不同，而晶体结构不同,4.晶向指数与晶面指数 晶体中由原子组成的直线和平面分别称为晶向和晶面国际上通用密勒（WHMiller）的标识方法，来表示晶向和晶面的空间取向，

6、称为密勒指数,(1) 建立坐标系: 以任一阵点为坐标原点，以晶轴为坐标轴, 并以点阵基矢a、b、c为相应坐标轴单位矢量;,y,z,x,0,0,0,1,1,1,B, 晶向指数确定方法：,(4) 将3个坐标值按比例化为最小整数（即互质的整数），并加方括号 111.,(3) 求出该直线上任意一点的坐标 1,1,1;,(2) 通过坐标原点引一直线，使其平行于待标识的晶向;,a,b,c,晶向组: 空间所有相互平行（方向一致）的晶向，其晶向指数相同, 称之为晶向组,右图中三个 晶向的晶向指数 均为 111, 称之为111晶向组,晶向族: 晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶向的组合. 例: 立方系10

7、0 晶向族 表示与 100 原子排列状况相同的 6个晶向组，即有:,(2) 求出待标识晶面在3个坐标轴上的截距: x = 1, y = 1, z = 1,(3) 取3个截距值的倒数: 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1,(4) 将倒数按比例化为最小整数 (即互质的整数), 并加圆括号: (111),y,z,x,A,晶面指数确定方法：,(1) 建立坐标系,a,b,c,o,例: 求点阵面 MSR的密勒指数,(2)截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2,步骤如下:,(1) 建立坐标系,(3)倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2,(4)将倒数乘公因子2, 化

8、为最小整数,(5)加圆括号: (834),问题：求下列点阵面的密勒指数？,(100),(110),晶面组: (hkl) 表示的不仅是一个晶面，而是空间所有相互平行(方位一致)的晶面, 称之为晶面组,晶面族 hkl: 晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶面的组合. 例: 立方晶系,右图中四个晶面的原子排列相同, 同属111晶面族 ,注意: 立方晶系中, 凡指数相同的晶向与晶面均互相垂直, 如100(100), 110(110)等,除采用密勒指数标识外，还可采用四轴定向方法标识即以a1、a2、a3 、 c为坐标轴单位矢量建立四轴坐标系，然后仍按密勒标识方法的步骤确定晶向和晶面指数，但此时获得的

9、晶向指数和晶面指数均由4个数值组成，型如uvtw 和(hkil)。,六方晶系晶向与晶面指数, 六方系四数值晶向指数uvtw 与四数值晶面指数(hkil) 中均只有3个值是独立的，,t = -(u+v) i = -(h+k),5.干涉指数 问题：在（hkl）晶面组（其晶面间距为dhkl）同一空间方位上，设若有晶面间距为 dhkl/n (n为任意整数）的晶面组，应如何标识？,图中: A1，A2，A3，为（010）晶面组（其面间距为d010），在此组晶面中分别插入B1，B2，晶面，则形成晶面间距为d010/2的A1， B1， A2， B2，晶面组应如何标识？,答：按照以前晶面指数的确定方法, (1)

10、 A1,B1, A2, B2, 最靠近坐标原点的晶面 B1在3个坐标轴上的截距为: , , (2) 截距的倒数为: 0，2，0 (3) 将倒数除公因子2, 化为最小整数: 0，1，0 (4) 加圆括号可表示为:（010）,结论：若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，与A1，A2，A3，一样，均以晶面指数（010）标识 若要考虑二者晶面间距的不同，则分别用 (020) 和 (010) 标识，此即干涉指数,干涉指数：对晶面的空间方位和晶面间距的标识； 晶面指数：仅仅标识了晶面的空间方位。 求晶面指数时, 要将截距的倒数化为互质的整数; 求干涉指数时, 要将截距的倒数化为整数, 但不必互

11、质。,干涉指数和晶面指数的不同：,若将(hkl)晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl/n 的晶面干涉指数为(nh nk nl)，记为 (HKL) 例：晶面间距分别为d110/2， d110/3的晶面，其干涉指数分别为 (220) 和(330),干涉指数与晶面指数的关系:,注意：干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布，干涉指数概念的建立主要为简化布拉格方程，分析衍射。,c,正点阵,倒易点阵,例如， -Fe,体心立方点阵, 点阵常数: a = b = c = 2.866 ; = = = 90,二、倒易点阵,我们知道，晶体结构的周期性可用点阵代表

12、，一个点阵可以用规定晶胞的三个矢量a、b、c来规定，这个点阵也被叫做正点阵。,V = (bc)a,什么是倒易点阵呢？,1. 倒易点阵定义： 倒易点阵由一组倒易矢量a*、b*、c*所规定。 若正空间点阵基矢为 a、b、c 倒空间点阵基矢为 a*、b*、c* 定义aa*=1， ab*= 0， ac*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1,aa*=1， ab*= 0， ac*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1 式中，等于1的3式决定了a*、b*、c* 的长度，而另外6式决定了a*、

13、b*、c* 的方向。亦即: a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b,a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b, a*/(bc)， a*= K(bc) b*/(ca)， b*= K(ca) c*/(ab)， c*= K(ab) 又 a*a = K(bc)a = 1 而(bc)a 为正点阵晶胞体积V a*a = KV = 1 K = 1/V, a*= K(bc) = (bc)/V b*= K(ca) = (ca)/V c*= K(ab) = (ab)/V,这就是倒易点阵的基矢表达式，即教材中（1-43）式。,2. 倒易点阵晶胞参数和正点阵晶

14、胞参数关系,正点阵晶胞用六个参数a,b,c, , 表示。 倒易点阵也用六个参数来表示，即： a*,b*,c*,*, *, * 其中a*,b*,c*为倒易晶胞三个棱边的长度 *为b * 、c *边夹角 *为a * 、c *边夹角 *为a * 、b *边夹角,从正点阵参数求取a*、b*、c* a*= (bc)/V = (bcsin/V)n n为bc方向的单位矢量。 a* 之长度a* = bcsin/V 同理 b* 之长度b* = casin/V c* 之长度c* = absin/V 注意: 习惯上，点阵常数以为单位，故倒易点阵参数a*、b*、c*的单位是-1。,(2) 从正点阵参数求取*、 *、

15、* b* c* = b* c* cos* cos* = b* c*/ b*c* = (ca) (ab)/V2 b*c* =(ca)(ab)-(cb)(aa)/V2 b*c* = c a cosa b cos- c b cos a2/ /(c a sina b sin) = (coscos-cos)/sinsin 同理 cos*= (coscos -cos)/sinsin cos*= (coscos -cos)/sinsin,a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sins

16、in cos*=(coscos-cos)/sinsin,总结: 如果正点阵晶胞参数：a,b,c, , 倒易点阵晶胞参数:a*,b*,c*,*,*,* 则它们之间有下列关系:,这就是教材中（1-44）式。,从正点阵参数求取倒易点阵参数的例子 一个立方晶系的化合物， 其正点阵参数 a = b = c =10.000 , = = = 90, 求其倒易点阵参数. a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1 b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1 c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1 cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0 cos*= (

17、coscos -cos)/sinsin= 0 cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 90,0.1 -1,a* = b* = c* = 0.1 -1, * = * = * = 90 其倒易点阵可建立如下：,每个小球代表 一个倒易阵点,000,100,010,020,001,002,101,102,a*,b*,c*,o*,3. 倒易点阵的性质： 以任一倒易阵点为坐标原点，以a*、b*、c*分别为三坐标轴单位矢量由倒易原点向任意倒易阵点的连接矢量称为倒易矢量，用r*表示若r*终点坐标为（H，K，L），则r*在倒易点阵中的坐标表达为:r*HKL= Ha*+

18、Kb*+Lc*,231 r*231=2a*+3b*+1c*,r*HKL的基本性质：(一定要记住) r*HKL 正点阵中相应(HKL)晶面; | r*HKL| = 1/ dHKL （长度为晶面间距的倒数）,证明(自学）：如图所示，正点阵坐标系O-xyz中；设平面ABC为(HKL)晶面组中距原点最近的晶面，则平面ABC在3个坐标轴上的截距分别为1/H、1/K和1/L，即有: OA = a/H, OB = b/K, OC = c/L,又设n0为（HKL）法线单位矢量，并设倒易原点O*与正点阵坐标原点O重合 由 AB = OB - OA = b/K - a/H 有r*HKL AB = (Ha*+Kb*

19、+Lc*) (b/K - a/H) = 0 (此处用到倒易点阵的定义) r*HKL AB 同理r*HKL BC r*HKL 平面ABC 即 r*HKL （HKL）, r*HKL （HKL） r*HKL与n0共线 n0 = r*HKL/|r*HKL| = (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL| 又 dHKL为OA在n0方向上的投影，即 dHKL= OA n0 =a/H (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL| = 1/ |r*HKL| |r*HKL| = 1/ dHKL,如果正点阵与倒易点阵具有共同的坐标原点，则正点阵中的晶面在倒易点阵中可用一个倒易结点来表示，倒易结点的指数用它所代表的晶

20、面的面指数标定。利用这种对应关系可以由任何一个正点阵建立起一个相应的倒易点阵，反过来由一个已知的倒易点阵运用同样的对应关系又可以重新得到原来的晶体点阵。,(1) 倒易阵点与正点阵(HKL)晶面的对应关系,讨论：,下图给出了(100)、(200)晶面与倒易结点的关系。 (200)的晶面间距 d200 = d100/2 (200) 晶面的倒易矢量长度比(100) 的倒易矢量长度大一倍。如果作出各种取向晶面族的倒易结点，便可得到相应的倒易结点空间。,晶体点阵参数p18, 式1-44 相应的倒易点阵参数平行六面体的平移堆砌建立倒易点阵(平行六面体的顶点就是倒易点) 或用作图法，在正点阵中取若干不同方位

21、的（HKL）晶面，据其作出各对应的r*HKL ，各r*HKL终点的阵列即为倒易点阵。,(2) 倒易点阵的建立,已知:晶体点阵参数a,b,c, , 按下式求出相应的倒易点阵参数 a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin 画出a*,b*,c*,*,*,*定义的平行六面体 该平行六面体的平移堆砌, 就建立起倒易点阵 (平行六面体的顶点就是倒易阵点).,如何用第一种方法建立倒易点阵 ?,例: 一个立方晶系的化合物， 其

22、正点阵参数 a = b = c =10.000 , = = = 90, 画出其倒易点阵. 解: a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1 b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1 c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1 cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0 cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0 cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 90,0.1 -1,a* = b* = c* = 0.1 -1, * = * = * = 90 其倒易点阵可建立如下：,每个小球代表

23、 一个倒易阵点,000,100,010,020,001,002,101,102,o*,a*,b*,c*,用作图法，在正点阵中取若干不同方位的（HKL）晶面，据其作出各对应的r*HKL ，各r*HKL终点的阵列即为倒易点阵。,如何用第二种方法建立倒易点阵 ?,例:立方晶格倒易点阵的建立,(210),(100),(110),(010),c,b,a,正晶格 a=b=4 ,(220), r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0.25 -1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25 -1 r*110 (110); | r*110| = 1/

24、 d110 = 0.252 -1,公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2,例:立方晶格倒易点阵的建立,r*210 (210); | r*210| = 1/ d210 = 0.25(22+12) -1 r*220 (220); | r*220| = 1/ d220 = 0.25 22 -1,公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2,例:立方晶格倒易点阵的建立,0.25 -1,200,100,000,r210,r110,210,110,010,220,120,020,C*,b*,a*,倒易晶格,r220,(120),(100),(110),(010),

25、c,b,a,正晶格 a=b=4 , =120,例:六方晶格倒易点阵的建立, r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0.25(4/3) -1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25(4/3) -1,公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2 + HK)/(3a2),例:六方晶格倒易点阵的建立,r*110 (110); | r*110| = 1/ d110 = 0.25(8/3) -1 r*120 (120); | r*120| = 1/ d120 = 0.25(20/3) -1,公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2

26、+ HK)/(3a2),0.25 -1,200,100,000,r120,r110,210,110,010,220,120,020,c*,b*,a*,倒易晶格,例:六方晶格倒易点阵的建立,(1) 晶面间距公式 晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常用dHKL或简写为d来表示。晶面间距的计算公式推导如下： |r*HKL| = 1/ dHKL 1/ dHKL2 = |r*HKL| 2 = r*HKL r*HKL = (Ha*+Kb*+Lc*) (Ha*+Kb*+Lc*) = H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c*,4

27、. 晶面间距与晶面夹角公式:,1/ dHKL2 = H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c* 为晶面间距的倒易点阵参数表达式，适用于各个晶系按各晶系倒易点阵参数与正点阵参数的关系进行换算，即可得到不同晶系各自的晶面间距与点阵参数关系式 以立方晶系为例， a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2 cos* = cos* = cos* = 0 1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2 可见， dHKL2 不仅与点阵常数a2有关，而且反比于晶面干涉指数平方和,例1 金属镍的立方晶胞参数a = 3.524 ，试求

28、d100, d200, d110, d220, d111,公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2 答案： 3.524；1.762; 2.492; 1.246; 2.035,(2) 晶面夹角公式 由于两晶面(H1K1L1)与 (H2K2L2)之夹角可用两晶面法线夹角表示，也即可用两晶面对应之倒易矢量夹角表示，故有:,为晶面夹角的倒易点阵参数表达式，适用于各个晶系 按各晶系倒易点阵参数与正点阵参数的关系进行换算，即可得到不同晶系各自的晶面夹角与点阵参数关系式,以立方晶系为例， a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2 cos* = cos* = cos* = 0 r*H

29、KL = 1/ dHKL = (H2 + K2 + L2)1/2/a 代入到上式后，得立方系晶面夹角公式：,例： 求立方晶系中下列几组晶面间的夹角: (001)与(010), (111)与(11-1) ?,答案：90， 70.53,公式：,三、晶带 定义：在晶体中如果若干个晶面同时平行于某一轴向时，则这些晶面属于同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。,图中，(1-10), (100), (110), (010)四个晶面的交棱相互平行，组成一个晶带，平行于此组平行晶棱且过晶体中心的直线CC为此晶带的晶带轴。该晶带轴的符号，为001晶带。,若晶带轴的方向指数为uvw，晶带中某晶面的指数为(HKL) ，则(HKL) 的倒易矢量r*HKL必定垂直于uvw 。将晶带轴表达为晶体点阵中的一个矢量，而r*HKL为倒易点阵中的一个矢量，则 晶带轴矢量 = ua + vb + wc r*HKL = Ha*+Kb*+Lc* 倘若这两个矢量互相垂直，则其数量积必为零，故 (ua + vb + wc) (Ha*+Kb*+Lc*) = 0 uH + vK + wL = 0,Hu + Kv + Lw = 0 称为晶带定理。 晶带定理的作用: (1)可判别某晶面与某晶向是否平行; (2)可判别某晶面是否属于某一晶带。,例1: 在正交晶系中，晶面(100), (010), (110), (-110), (21