直接证明与间接证明-2013届高考理科数学第一轮基础复习.ppt

1、第六节直接证明与间接证明,1直接证明,推理论证,成立,证明的结论,充分条件,2.间接证明 反证法：假设原命题 _(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,不成立,矛盾,1综合法和分析法的区别和联系是什么？ 【提示】综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用 2反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？ 【提示】反证法的关键是在正确

2、的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等,1(教材改编题)用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为() Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除 Ca、b不都能被5整除 Da不能被5整除 【解析】“至少有一个”的否定“没有一个” 【答案】B,【答案】C,3设A、B、C是三个集合，那么“AB”是“ACBC”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】ABACBC，但ACBCD/AB，如当C，AB时，ACBC，选A. 【答案】A,对于定义域为

3、0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条： 对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由 【思路点拨】根据理想函数的定义，证明g(x)满足理想函数的三个条件即可,综合法,【尝试解答】g(x)2x1(x0,1)是理想函数 证明如下：x0,1， 2x1，2x10，即对任意x0,1，总有f(x)0，满足条件. f(1)2111，故满足条件， 当x10，x20，且x1x21时， f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(

4、x2)2x12x22，,f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x21 2x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)， x10，x20，则2x110,2x210， f(x1x2)f(x1)f(x2)0， 即f(x1x2)f(x1)f(x2)，满足条件， 故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数,1综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理,本例中条件不变，问题变为“若函数f(x)是理想函数，

5、证明f(0)0”，如何求解？ 【解】令x1x20，则x1x21， f(00)f(0)f(0)， f(0)0， 又由条件知f(0)0， f(0)0.,【思路点拨】先去分母，再合并同类项，化成积式 【尝试解答】m0，1m0， 所以要证原不等式成立，只需证明， (amb)2(1m)(a2mb2)， 即证m(a22abb2)0， 即证(ab)20， 而(ab)20显然成立， 故原不等式得证,分析法,1分析法是“执果索因”的证明方法，其主要过程是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件用分析法证明命题的逻辑关系是：BB1B2BnA，它的常见书面表达是“要证只需证” 2对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证

6、明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁,(1)用单调性的定义证明f(x)在(1，)上为增函数 (2)用反证法证明：方程f(x)0没有负数根 【思路点拨】(1)按照：设元作差变形判号结论的步骤证明(2)需证明的是否定性结论，可用反证法证明,反证法,1当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等 2直接证明与间接证明

7、是数学证明的两类基本的证明方法直接证明含综合法与分析法，间接证明的一种基本方法是反证法,从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直、不等式、解析几何等都有可能考查，在考查基础知识的同时，考查等价转化，分类讨论思想以及逻辑推理能力在证明时一定要注意步骤的规范化,规范解答之十用综合法证明不等式,易错提示：(1)解答(1)时，没有去分母，等价转化不等式，导致作差变形无法进行(2)解答(2)时，没有注意到各项之间的倒数关系，从而无法使用对数的性质及换底公式等价转化不等式 防范措施：(1)在证明不等式时，应综合考虑待证不等式的结构特征，是否先去分母，应根据后面证明不等式的手段确定 (2)解答第(2)问有意识地运用第一问的结果或解题方法至关重要，本题通过换元法使待证不等式的左右两边分别是倒数关系，和(1)中不等式类似，从而可利用(1)的结论