第五讲正交实验设计与数据处理

1、正交试验设计与数据分析,试验优化设计Experimental design,以概率论和数理统计为理论基础 经济地、科学地安排试验 正确地分析试验数据 尽快地获得优化方案 一项实用技术,试验的必要性,生产实践中，试制新产品、改革新工艺、寻求好的生产条件等，这些都需要先做试验 试验需要花费时间、消耗人力、物力 人们希望做试验的次数尽量少，而得到的结果尽可能好,完整的试验应包括三个方面：,第一，试验的设计 第二，试验的实施 第三，试验结果的分析,试验设计的概念,即试验的最优化设计，是研究如何合理而有效地获得数据资料的方法。 其主要内容就是讨论如何合理地安排试验、取得数据，然后进行综合的科学分析，以达

2、到尽快获得最优方案的目的。 是数理统计学的应用方法之一。,实际问题很复杂，对试验有影响的因素往往是多方面的。 在多因素、多水平试验中，若对每个因素的每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做的试验就会很多。,例如,两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭配进行全面试验，要做 7249次试验， 3个7水平的因素进行全面试验，就要做 73343次试验 6个7水平的因素进行全面试验，要做 76117649次试验,试验次数多，要花费大量的人力、物力，还要用相当长的时间 由于时间长，条件改变，还会使试验失效 长期的实践表明，要得理想的结果，并不需要做全面试验。尤其对那些试验费用很高，或具有破坏性的试验

3、，更不要做全面试验,应当在不影响试验效果的前提下，尽可能减少试验次数,试验设计的意义,根据专业知识和统计学知识，制定出一个包含多因素多水平有机组合的试验计划； 清楚地表达出每次试验涉及到各因素的哪个水平，各种水平组合下是否需要做重复试验，全部试验共需进行多少次； 是试验的行动指南； 使试验过程有据可查、有章可循，并能有效地、科学地解决试验研究中的复杂问题。,试验设计的基本步骤,提出拟考察的试验因素及水平 考虑现有的人力、物力和试验条件，有能力承担多大规模的试验研究 说明需要观测哪些指标，是定量的还是定性的或两种兼而有之 选择合适的设计类型并给出全部因素水平组合的方案,正交试验设计,是解决这类问

4、题的有效方法之一； 正交试验设计的主要工具是正交表，用正交表安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到广泛的应用 正交试验设计是用一套规格化的表格来安排试验，这种表格叫做正交表,正交表简介,是一种特制的表格，每个表都有一个记号，如L9(34)，L8(27)，就是两个最常用的正交表； 符号说明： L正交表 L下角的9、8正交表的行数 括号里的3、2因素所取的水平数， 指数4、7正交表的列数 表内的数字1、2、3因素的水平,二水平的正交表还有L16(215)、L12(211)， 三水平的正交表还有L18(37)，L27(313)， 四水平的正交表还有L16(45)等等。,正交表L9(34),正交表记

5、法,一般正交表记为Ln(mk)， n是表的行数，是要安排的试验次数； k表中列数，表示因素的个数； m是各因素的水平数。,Ln(Km)是一个n行m列矩阵,（1）每个因素 ； （2）任一列中每个不同元素出现的次数都等于 ； （3）H中任意二列同行上的有序数偶：（1,1）（1,k），（2,1）（k,1）（k,k），出现的次数都等于n/k2。,正交表的特点（或性质）-正交性,每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9(34)中不同的数字是1,2,3，它们各出现3次。(n/k) 在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对出现的次数也是相等的，如L9(34)，有序数对共有9个：(1,1),(1,2),(

6、1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，它们各出现一次。(n/k2),正交性的优点,保证每个因素的各个水平参加试验的次数一样多，每两个因素之间实现了完全水平组合试验 因素的各种水平的搭配是均衡的 正交表所需要试验的次数在多因素多水平的完全组合试验中具有较好的代表性 正交试验中的最优水平组合在完全水平组合试验中仍是名列前茅,混合水平正交表,水平数不等的正交表，称为混合水平正交表 如L8(4124)是由一个4水平的列，4个2水平的列组成，表示用该表设计试验时最多可安排一个4水平的因素，4个2水平的因素，需要试验的总次数为8次 其它如L18(2137)，L3

7、2(814626)等等，都有类似的含义。,交互作用表,需要考虑因素的交互作用时，许多正交表都配有一张交互作用表 从交互作用表上可以查出相应正交表中任何两列之间的交互作用所占的列 比如对L8(27)，由相应的交互作用表可以查到L8(27)中第1,2两列的交互作用应占第3列，而第1,4两列的交互作用应占第5列，第2,4两列的交互作用应占第6列等等。而三水平正交表中任意两列的交互作用都占有两列。,正交试验设计应用范围,常常用来解决二水平或三水平或二、三水混合水平的多因素设计问题； 适用于需要考察的交互作用不多、也不太复杂的多因素试验研究的场合； 通过方差分析鉴别各因素对试验指标的影响。,正交试验设计

8、步骤,首先要根据试验目的，确定要观察的因素 确定每个因素的水平 然后选用适当的正交表安排试验。,例一,为提高某化工酸洗过程中产品的收率，选择了四个有关因素：反应温度（A）、反应时间（B），用酸量（C）和酸浓度(D)，由生产实践经验及专业知识选取的水平如下： 表1 因素水平表 水平 反应温度（A） 反应时间（B） 加酸量（C） 酸的浓度（D） 1 85 90 1:1 10 2 90 120 2:1 15 3 95 150 3:1 20,用正交表安排试验的步骤：,首先选择适合试验的正交表，这里是四因素三水平试验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次试验，每一行代表一次试验的条件。 把A、B、C、

9、D四个因素放到L9(34)的四列上，每一行所代表的试验条件，即把A、B、C、D对应的“1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所示，并将试验结果填写入相应的试验序号中，然后进行计算和分析。,表2 试验方案与结果,正交实验结果分析,对试验结果的分析：直观分析 方差分析,表2 正交试验直观分析计算结果,说明与结果分析： K为各因素相同水平的指标之和； 极差R为相同因素不同水平的指标平均值中最大值与最小值之差；并作出因子水平与R值间关系图：由图可以看出因子与指标的变化规律，明确因子影响指标的主次：ABCD,选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。,正交试验直观分析： 看出因子与指标的变化规律；

10、 明确因子影响指标的主次：ABCD 选定最优方案,取务因子中有最高指标的水平组合,选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。,正交试验的方差分析,直观分析不能给出误差的大小，也不能知道结果的精度； 方差分析能够反应数据的波动性，即数据的分散性，方差大小表明数据变化的显著程度，也表明因素对指标影响大小。,例二,为提高某化工产品的转化率，选择 了三个有关因素：反应温度（A）、反应时间（B），用碱量（C），选取的水平如下： 因素水平 1 2 3 温度（A） 80 85 90 时间（B） 90分 120分 150分 用碱量（C） 5% 6% 7%,用正交表安排试验的步骤：,首先选择适合试验的正交表

11、，这里是三因素三水平试验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次试验 把A、B、C三个因素放到L9(34)的任意三列上，例如放在前三列，把A、B、C对应的“1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所示：,表2 试验方案与结果,对试验结果进行方差分析,设9次试验结果以y1,y2,y9表示，我们假定yr r +r (r=1,2,9)r的结构式为 y1 +a1 +b1 +c1 + 1 y2 +a2 +b2 +c2 + 2 y9 +a9 +b9 +c9 + 9 r N(0, 2 ) r=1,2,9,（1）,其中r (r=1,2,9)相互独立， 即各次试验结果理论值r 的总平均， ai ,bj ,ck

12、(i,j,k=1,2,3)分别表示因素A,B,C对指标的效应，即 ai =（水平Ai下各次试验结果值r的平均） i=1,2,3 bj =（水平Bj下各次试验结果值r的平均） j=1,2,3 ck =（水平Ck下各次试验结果值r的平均） k=1,2,3,且满足,要检验的假设为： H01： a1 = a2 = a3 = 0 H02： b1 = b2 = b3 = 0 H03： c1 = c2 = c3 = 0,令,其中,于是9次试验结果的总偏差平方和为：,经过初等的代数运算，可以得到如下的分解式：,其中,（2）,SA反映了因素A各水平效应引起的差异，它正好等于正交表L9(34)中第一列各水平的偏差

13、平方和S1； SB反映了因素B各水平效应引起的差异，它正好等于正交表L9(34)中第二列各水平的偏差平方和S2； SC反映了因素C各水平效应引起的差异，它正好等于正交表L9(34)中第三列各水平的偏差平方和S3；,由此可见，正交表L9(34)的总偏差平方和恰好等于各列偏差平方和之和： ST = S1+ S2 + S3 + S4 相应自由度也有fT = f1+ f2 + f3 + f4,对,（3）,按上页的公式，对表2中数据计算可得： ST=982 SA=618 SB=114 SC =234 SE=18 fA= fB = fC = fE =3-1=2 ST 自由度fT=（总试验次数1）8 在原假设：“第i列中每个水平的效应为0”成立时，有统计量 i=1,2,3,例题的方差分析表如下：,作显著性检验时，常常取 0.01,0.05,0.10,0.20 定出四个临界值， ，则该因素对指标影响特别显著 ，则该因素对指标影响显著 ，