第3节 无穷小量与无穷大量.ppt

1、8/26/2020 9:29 PM,2.3 无穷小量与无穷大量,1. 无穷小量,2. 无穷大量,3. 无穷小量与无穷大量的关系,8/26/2020 9:29 PM,1. 无穷小量,【定义2.5】以0为极限的变量，,例1因为，,变量为无穷小量。,第2章 极限与连续,小量（简称为无穷小）。,过程中，,即对任意给定的，,不等式恒成立，,总有那么一个时刻，,在那个时刻以后，,若在变量的变化,则称变量为无穷小量。,称为无穷,所以当时，,8/26/2020 9:29 PM,例2因为，,变量为无穷小量。,例3因为，,变量为无穷小量。,说明（1）不要将无穷小量与很小的数,第2章 极限与连续,所以当时，,所以当

2、时，,（如）混为一谈，,小量的常数。,0是唯一一个是无穷,8/26/2020 9:29 PM,（2）无穷小量与变化过程有关。,例如当时是无穷小量；,当时就不是无穷小量。,因为,第2章 极限与连续,8/26/2020 9:29 PM,无穷小量与变量极限的关系,【定理】,其中为同一变化过程中的无穷小量。,证明,总有那么一,个时刻，,恒成立。,令,即,故是无穷小量，,证毕。,第2章 极限与连续,在那个时刻以后，,不等式,且,8/26/2020 9:29 PM,【定理】有界变量与无穷小量的乘积是,证明,即存在一个正数，,又设是无穷小量，,第2章 极限与连续,无穷小量。,在这一时刻之后，,恒有,么一个时

3、刻，,即，,总存在那,在那个时刻以后，恒有,设在某个时刻之后是有界变量，,8/26/2020 9:29 PM,在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后，,因此，在那个较晚的时刻以后，,成立，,证毕。,【推论】常量与无穷小量的乘积是无穷,第2章 极限与连续,（1）和（2）都成立。,恒有,所以是无穷小量。,小量。,8/26/2020 9:29 PM,例4求,解因为，,又,所以当时，,与无穷小量的乘积，,则,第2章 极限与连续,所以是有界变量,是有界变量,8/26/2020 9:29 PM,2. 无穷大量,引例讨论函数当时的,如图所示,可以任意的大。,称当时，是一个无穷大量。,在无限接近1的过程中，,第2

4、章 极限与连续,变化趋势。,8/26/2020 9:29 PM,【定义2.6】若对任意给定的正数，,变量是无穷大量，,例如,第2章 极限与连续,变量在其变化过程中，,在那个时刻以后，,总有那么一个时刻，,不等式恒成立，,则称,记作,或称变量趋于无穷大。,8/26/2020 9:29 PM,说明（1）无穷大量（）不是数，,（2）无穷大量与变化过程有关。,但,在时，变量是无穷大量；,在时，变量不是无穷大量；,第2章 极限与连续,不可与很大的数（如）混为一谈。,8/26/2020 9:29 PM,（3）无穷大量一定无界；,例如函数,如图所示,取，则,取，而,所以，时，,函数无界。,第2章 极限与连续

5、,成立。,反之，不一定,无穷大量。,函数不是,8/26/2020 9:29 PM,3. 无穷小量与无穷大量的关系,【定理】在变量的变化过程中,（1）若是无穷大量，,（2）若是无穷小量，,证明（1）若是无穷大量，,总有那么一个时刻，,即,因此是无穷小量。,第2章 极限与连续,则对,在那个时刻之后，恒有,则是无穷小量；,则是无穷大量。,8/26/2020 9:29 PM,同理可证（2），证毕。,由此定理知，,例,第2章 极限与连续,以相互转化的。,无穷大和无穷小的问题是可,8/26/2020 9:29 PM,内容小结,1.无穷大量与无穷小量的概念,2.无穷大量与无穷小量的关系,-互为倒数关系。,3.无穷小量与变量极限的关系,第2章 极限与连续,8/26/2020 9:29 PM,备用题,证,要使,只要,取,当时,有,即函数是无穷大量。,1.根据定义证明：,第2章 极限与连续,时的无穷大量。,函数为当,8/26/2020 9:29 PM,2.根据无穷大量的定义，填写下表,当时,有,当时,有,当时,有,当时,有,当时,有,第2章 极限与连续,8/26/2020 9:29 PM,3.证明函数在区间上无界，,证,取,当时,所以函数无界。,当时，,而时，,即在邻域内，,函数不是无穷大量。,第2章