等比数列 (3).ppt

1、第二章 数列,2.4 等比数列,本节主要讲解等比数列概念，等比中项，等比数列的通项公式等知识。利用生活中的实例引入新课，国王赏麦的故事吸引学生注意力，使学生能够更有兴趣。 探究一主要是对等比数列概念的的辨析，借助例题巩固概念。探究二主要是通项公式的推到方法，借助例题加以巩固；探究三主要是研究函数与数列间的关系。 通项公式的推导过程利用视频讲解两种方法。数列与函数的关系应用视频讲解直观，明确，易懂。等比数列的性质用例题和变式加以巩固。,回忆：,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。,比较下列数列,共同特点

2、？,从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.,（1）,（2）,（3）,9，92，93，94，95，96， 97,36，360.9，360.92, 360.93,（4）,等比数列定义,一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。,或,其数学表达式：,(q0),思考:(1)如果an+1=anq(nN+,q为常数），那么数列an是否是等比数列？为什么？,答：不一定是等比数列。这是因为： （1）若an=0，等式an+1=anq对nN+恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中

3、任何一项都不能为零；,（2）若q=0，等式an+1=anq，对nN+仍恒成立，此时数列an从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。,（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；,（4） q0数列递增吗？q0数列递减吗？,q=1，常数列；,q0，摆动数列；,注意：,1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。,2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同 一个非零常数。,例1：判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 (3)2, 2, 2, 2, (4)1, 0, 1, 0 ,是,不是

4、,是,不是,q =,q =,例2:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2，a，8 (2) -4 ，b，c,解得 a=4或a=-4,定义： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,练习：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=4,解：（1）根据题意，得,（2）根据题意，得,变式1：观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4 （3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,解：设这个等比数列为an，其中a11，a54，插入的三项分别为a2，a3，a4. 由题意，得

5、a1，a3，a5也成等比数列， 则aa1a5144， 又a3a1q20， 故a32，a2a3a4a8.,例3：在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积,当n=1时，,如果等比数列 的首项是,公比是 ,那么这个等比数列的第项如何表示?,等比数列的通项公式,（等比数列通项公式）,想一想？,证明：,将等式左右两边分别相乘可得：,化简得：,即：,此式对n=1也成立,累乘法,一般形式：,等比数列的通项公式,例4：求下列等比数列的第4，5项：,（2）1.2，2.4，4.8，,（1） 5，-15，45，,（3）,解得,因此，,变式2：在等比数列an中，已知 ， 求an.,解：设等

6、比数列an的公比为q,由题意得,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an+1=an+d,an+1=an q,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,数列与函数的关系,想一想：类似的在同一直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数的图象，并观察它们之间的关系。,结论：等比数列的图像是其对应的函数的图像上一些孤立的点。,例5：根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?,通项公式为：,解：用an 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,解得,因此，,例6：一个等比数列的第项和第项分别是12和18，求它的第项和第项,等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq,等比数列有相似的性质吗？,若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq,证明:,例7：(1)在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11_. (2)an为等比数列，且a1a964，a3a720，则a11_.,解析：(1)解法一：a7a12a8a11a9a105， a8a9a10a115225. 解法二：由已知得a1q6a1q11aq175， a8a9a10a11a1q7a1q8a1q9a1q10 aq34 (aq