新线性规划0.

1、,3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域,初中一元一次不等式（组）的解集 表示什么图形?,在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集又表示什么图形?,温故知新：,问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线分为几部分？,现在我们来探求二元一次不等式解集所表示的图形。,已知直线l：Ax+By+C=0，它把平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与l的并集叫做闭半平面。,互动探究：,不等式的解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的平面区域或不等式的图象。,我们如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域呢？,结论：,直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为

2、两部分，直线l同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小于零。,问题五：如何判断Ax+By+C0 表示直线Ax+By+C=0 哪一侧平面区域？,根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断不等式Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域，（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）这种方法称为代点法,例1画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2xy30； （2）3x+2y60.,解：（1）所求的平面区域不包括直线，用虚线画直线l：2xy3=0，,将原

3、点坐标(0，0)代入2xy3，得 2003=30，,这样，就可以判定不等式2xy30所表示的区域与原点位于直线2xy3=0的异侧，即不包含原点的那一侧。,（2）画出3x+2y60的平面区域.,解：（2）所求的平面区域包括直线，用实线画直线l：3x+2y6=0，,将原点坐标(0，0)代入3x+2y6，得30+206=60，,这样，就可以判定不等式3x+2y60所表示的区域与原点位于直线2xy3=0的同侧，即包含原点的那一侧（包含直线l）。,3、确定区域的方法概括为： “直线定界，特殊点定域”.,特别地，当C0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”,1、Ax+By+C0表示的平面区域把直

4、线画成实线以表示区域包含边界直线； 2、Ax+By+C0表示的平面区域把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线,应该注意的几个问题：,一般地，直线y=kx+b把平面分成两个区域（如上图）： ykx+b表示直线上方的平面区域； ykx+b表示直线下方的平面区域.,例1：画出不等式 2x+y-60表示的平面区域。,解：先画直线2x+y-6=0,取原点（0,0), 代入2x+y-6， 因为,20+0-6=-6 0，,所以，原点在2x+y-60表示的平面区域内， 不等式 2x+y-60表示的区域如图所示。,2x+y-6=0,思考1：画出不等式 2x+y-60表示的 平面区域,2x+y-60,画出不等式

5、2x+y-60表示的平面区域。,注意:不等式表示的区域是否包含边界，若不包含边界，边界应画成虚线，若不便于画成虚线（如坐标轴），应通过文字加以说明。,思考2：对于二元一次不等式Ax+By+C0(A2+B20)如何确定其所在的平面区域？,判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y) ，把它的坐标代入Ax+By+C ,所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+by+C0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C0 时，常把原点作为此特殊点,选点法：,直线定界，特殊点定域,例2 将下列图中的平面区域

6、（阴影部分）用不等式出来（图（1）中的区域不包含y轴）,解,(1) x0,(2) x+y0,(3) 2x+y4,1.判断下列命题是否正确 (1)点(0,0)在平面区域x+y0内; ( ) (2)点(0,0)在平面区域x+y+12x内； ( ) (4)点(0,1)在平面区域x-y+10内.( ),2.不等式x+4y-90表示直线x+4y-9=0( ) A.上方的平面区域 B.上方的平面区域(包括直线) C.下方的平面区域 D.下方的平面区域(包括直线),B,3.画出下列不等式所表示的平面区域: (1) x2 (2)y0 (4) yx-1,4.将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表 示出来,

7、o,-1,1,解,(3) -1x1,(1) 2x+y0,(2) 3x-y-30,（1）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系 中表示什么图形？ （2）怎样画二元一次不等式（组)所表示的平面区域？ 应注意哪些事项？ （3）熟记“直线定界，特殊点定域”方法。,3. 用“上方”或“下方”填空 (1)若B0, 不等式Ax+By+C0表示的区域是直线Ax+By+C=0的 不等式Ax+By+C0表示的区域是直线Ax+By+C=0的 不等式Ax+By+C0表示的区域是直线Ax+By+C=0的,上方,下方,下方,上方,画出不等式组 表示的平面区域。,x+y=0,x=3,x-y+5=0,注：不等式组表示

8、的平面区域是各不等式所表示 平面区域的公共部分。,画出不等式（x+2y-1)(x-y+3)0表示的区域,解：,对任一点P0(x0,y0)在L：Ax+By+C=0(B0)上方的充要条件：Ax0+By0+C0,证明：充分性：如图：Ax0+By0+C0 B0 y0 ， 过P0作P0Mx轴 交L于点Q，则Q点坐标（x0 ） MP0=y0 =MQ 点P0在直线L的上方 必要性：点P0(x0,y0)在L的上方 MP0MQ即y0 又B0 Ax0+By0+C0,(对于充分性、必要性证明,教师可以选择性地作为学有余力学生学习),在Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标代入Ax+By+C，所得的实

9、数符号都相同。,结论：,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中的图形是表示Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,2：画出下面不等式组所表示的平面区域,所以,不等式组表示的区域如上图所示.,x+y=0,x=3,x-y+5=0,解：依次画出三个不等式 xy+50, x+y0, x3所表示的平面区域,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,确定步骤： 直线定界，特殊点定域； 若C0，则直线定界，原点定域；,小结：,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。 2、画图时应非常准确，否

10、则将得不到正确结果。,画出不等式组 表示的平面区域。,3x+5y 25,x -4y - 3,x1,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题2：y有无最大(小)值？,x,y,o,问题3：2x+y有无最大(小)值？,x,y,o,x=1,C,B,设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件， 求z的最大值和最小值。,3x+5y25,x-4y-3,x1,x-4y=-3,3x+5y=25,有何几何意义？,有何含义？,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件 ， 求z的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,问题 1: 将z=2x+y变形?,问题 2: z几何意义是

11、_。,斜率为-2的直线在y轴上的截距,则直线 l： 2x+y=z是一簇与 l0平行的直线,故 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直 线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，z最大,即 zmax25+212 。,析: 作直线l0 ：2x+y=0 ,最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。,线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或等式。,有关概念,约束条件：由x、y的不等式（或等式）构成的不等式组。,目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。,线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式

12、。,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。,可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。,可行域：所有可行解组成的集合。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,3x+5y=25,设z=2x+y,式中变量x、y 满足下列条件 ， 求z的最大值和最小值。,例1：设z2xy,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。,解：作出可行域如图：,当z0时，设直线 l0：2xy0,当l0经过可行域上点A时， z 最小，即z最大。,当l0经过可行域上点C时， z最大，即z最小。, zmax2528 zmin214.4 2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0，,平移l0 ，,

13、2xy0,3x+5y=25,例2：已知x、y满足 ，设zaxy (a0)， 若z 取得最大值时，最优解有无数个，求a 的值。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,解：当直线 l ：y ax z 与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l kAC, kAC,k l = -a, -a =, a =,变量x、y满足下列条件,（1）求 的最小值；,（2）求 的范围。,x,o,x=1,C,B,x-4y=-3,3x+5y=25,例3：满足线性约束条件 的可行域中共有 多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解：由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件

14、的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解.,当堂检测： 设z=x+3y,式中变量x、y满足下列条件， 求z的最大值和最小值。,小结: 1线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤; 3. 求可行域中的整点可行解。,有关概念,由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划

15、问题。满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。,练习2、已知 求z=3x+5y的最大值和最小值。,5,5,1,O,x,y,1,-1,5x+3y=15,X-5y=3,y=x+1,A(-2,-1),B(3/2,5/2),例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,作出可行域（如图）,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18

16、，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,X张,y张,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线z=x+y，,目标函数z= x+y,当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),调整优值法,2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,答（略）,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(

17、4,8)时，t=x+y=12是最优解.,答:(略),作出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大

18、？,解：将已知数据列为下表：,设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0， 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大， 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组 得点C的坐标为（200，240）,1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（

19、2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,由上表可知： （1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌 6002=300张,可获利润:80300=24000元,但木料没有用完,（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱900.2=450 张,可获利润120450=54000元,但木工板没有用完,分析：,300,600,A(100,400),1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）

20、怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为,Z=80 x+120y,作出不等式表示的平面区域，,当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80100+120400=56000元,（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；,（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。,将直线z=80 x+120y平移可知：,900,450,求解：,4,x=8,y=4,x+y=10,4x+5y=30,320 x+504y=0,2.某运输公司接受了

21、向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）,解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则,Z=320 x+504y,作出可行域中的整点，,可行域中的整点（5，2）使Z=320 x+504y取得最小值，且Zmin=2608元,作出可行域,2.附加练习,深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥，已知生产甲种水泥制品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种水泥制品1吨，需矿石5吨，煤10吨，每1吨甲