高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案（含解析）新人教A版必修

1、21 平面向量的实际背景及基本概念向量的物理背景及概念提出问题(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班每次飞行都是民航客机的一次位移由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(2)汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？提示：分别涉及位移、速度和力问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向导入新知向量和数量(1)向量：既

2、有大小，又有方向的量叫做向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量化解疑难理解向量的概念应关注三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小向量的几何表示提出问题问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？提示：起点、方向、长度问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：利用有向线段表示问题3：如何表示向量？提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表

3、示向量的大小导入新知1有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以A为起点、B为终点的有向线段记作 .(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定2向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，表示向量，书写时用，表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.化解疑难向量与有向线段的区别和联系(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此

4、它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段向量的有关概念导入新知1向量的模及两个特殊向量(1)向量的长度(模)：向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作|.(2)两个特殊向量：零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量2相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作ab.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点

5、无关因为向量完全是由它的方向和模确定的(2)平行向量：定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作ab.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0a.共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量化解疑难平行(共线)向量的含义(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点向量的有关概念例1下列说法正确的是()A

6、向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C向量与向量是两平行向量D单位向量都相等答案C类题通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题活学活用下列说法正确的序号有_若向量a，b，则|a|b|；若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；

7、若向量是单位向量，则也是单位向量；以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆答案：向量的表示例2(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个向量(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：，使|4，点A在点O北偏东45；，使|4，点B在点A正东；，使|6，点C在点B北偏东30.解(1)12(2)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又因为|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示由于

8、点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示类题通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量活学活用已知汽车从A地按北偏东30的方向行驶200 km到达B地，再从B地按南偏东30的方向行驶200 km

9、 到达C地，再从C地按西南方向行驶100 km到达D地，作出向量， (用1 cm表示100 km)解：向量，如图共线向量或相等向量例3如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形(1)找出与向量共线的向量；(2)找出与向量相等的向量解(1)依据图形可知，与方向相同，与方向相反，所以与向量共线的向量为，.(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和. 类题通法寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(

10、2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线活学活用如图，ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有_；(2)与向量共线，且模相等的向量有_；(3)与向量共线，且模相等的向量有_答案：(1) ，(2) ，(3) ， 典例给出下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若ab，bc，则ac.其中，正确的命题有()A0个B1个C2个 D3个解析忽略了0与0的区别，a0；混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明

11、它们的长度相等，它们的方向并不确定；两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；当b0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.答案A易错防范1本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为都正确，从而误选D.2判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可成功破障有下列说法：若ab，则a一定不与b共线；若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有；若ab，bc，则ac；共线向量是在一条直线上的向量其中，正确说法的序号是_答案：随堂即时演练1有下列说法：若向量a

12、与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行其中，正确说法的个数是()A1 B2C3 D4答案：A2.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量PQ与QR与RC与CR与QR答案：B3当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是_答案：零向量4已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_.答案：25如图，O是正方形ABCD的中心(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与的模相等的向量答案：(1)(2)， 课时达标检测一、选择题1下列结论中，不

13、正确的是()A向量，共线与向量意义是相同的B若，则C若向量a，b满足|a|b|，则abD若向量，则向量答案：C2如图，四边形ABCD中，则必有()ABCD答案：D 3.若|且，则四边形ABCD的形状为()A平行四边形B矩形C菱形 D等腰梯形答案：C4.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有()A2个 B3个C6个 D9个答案：D5.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式成立的是()A BC D答案：D

14、二、填空题6设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是_(填序号)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.答案：7如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|_.答案：8已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.答案：0三、解答题9.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与模相等的向量解：(1)，；(2)与共线的向量有，；(3)与模相等的向量有，.10在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变方向，向西偏北50航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务请你回答下列问题：(1)作出向量，；(2)求|.解：(1)