高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质第3课时课堂探究学案新人教A版必修

1、1.3 函数的基本性质课堂探究探究一 判断函数的奇偶性1函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数2用定义判断函数奇偶性的步骤为：(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(3)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(4)求f(x)；(5)根据f(x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性3函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中【典

2、型例题1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)；(4)f(x)思路分析：先求出定义域，再判断f(x)与f(x)的关系解：(1)函数的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)既不是奇函数又不是偶函数(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)(x)32(x)2xx3f(x)，f(x)是奇函数(3)由得x21，即x1.函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(4)函数的定义域关于原点对称方法一：当x0时，x0，f(x)x1(x)x(1x)f(x)当x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)f(x)f(x)

3、f(x)是奇函数方法二：函数f(x)的图象如图图象关于原点对称，f(x)是奇函数方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断f(x)与f(x)的关系，既可以从f(x)开始化简，也可以去考虑f(x)f(x)或f(x)f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑 ，与1或1的关系(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数探究二 利用函数的奇偶性求解析式对于偶函数f(x)有f(x)f(x)，对于奇函数f(x)有f(

4、x)f(x)，所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可【典型例题2】 已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式思路分析：若x0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x0时的解析式注意不要忽略x0时f(x)的解析式解：当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1.

5、当x0时，f(0)f(0)，则f(0)f(0)，即f(0)0.所以f(x)的解析式为f(x)规律总结(1)这类问题常见的情形是：已知当x(a，b)时，f(x)(x)，求当x(b，a)时f(x)的解析式若f(x)为奇函数，则当x(b，a)时，f(x)f(x)(x)若f(x)为偶函数，则当x(b，a)时，f(x)f(x)(x)(2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，不能漏掉探究三 函数单调性与奇偶性的综合应用利用函数的单调性与奇偶性可以解一类抽象不等式问题解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)0，求实数m的取值范围思路分析：f(m)f(m1)0f(1m)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数即解得1m .温馨提示当遇到抽象不等式或函数式很复杂时，一般要利用函数的单调性去掉“f”再求解探究四 易错辨析易错点忽视定义域，错判函数的奇偶性【典型例题4】 判断函数f(x)(x1) 的奇偶性错解：f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数错因分