高二数学 第四课时 矩阵的运算（2）教案 沪教版

1、第四课时 矩阵的运算（2） 教学目标1、理解矩阵乘法的定义；2、掌握矩阵乘法的运算性质；3、掌握线性方程组的矩阵表示方法。教学重点1、矩阵乘法的运算性质；2、矩阵乘法满足的条件及矩阵乘法不满足的运算律。教学难点 矩阵乘法概念的理解。教学过程一、情境设置、复习引入：引例1、某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵运算形式表示：对于矩阵可设其两个列向量为，则最终成绩可用矩阵这里，矩阵通过向量进行线性运算变换得到矩阵： 这个矩阵反映了两位选手的最终成

2、绩。引例2、下表是2008年奥运会奖牌榜前三位的国家的得奖情况：金牌银牌铜牌中国512128美国363836俄罗斯232128为了反映一个国家的整体实力，这里有两种不同的加权计算方式：（1）金牌乘以，银牌乘以，铜牌乘以；（2）金牌乘以，银牌乘以，铜牌乘以。那么这两种计算方式所得最终成绩可通过如下矩阵运算表示：对于矩阵，可设其三个列向量为：，则第一种计算方式可得矩阵： 由第二种计算方式可得矩阵： 、即为矩阵的两个列向量，而矩阵即表示了两种计算方法所得的成绩。这里矩阵通过矩阵两个列向量和进行线性运算变换得到矩阵： 这个矩阵反映了这三个国家在两种不同计算方式下的最终成绩。二、概念讲解：1、通过上述引

3、例可以看出：（1）两个矩阵之间可通过进行线性运算得到一个新的矩阵，这个线性运算是通过前一个矩阵的某一个行向量与后一个矩阵某一个列向量对应进行数量积运算所得；（2）在这个运算中，前一个矩阵的列数应与后一个矩阵的行数相等。（3）这个运算，在实际问题中，有着现实的意义。2、概念：对于一个阶的矩阵和一个阶的矩阵（），若矩阵的第行的行向量与矩阵的第列的列向量（）进行数量积得到的数为矩阵的第行第个数，那么矩阵叫做矩阵和的乘积，记作。3、由此定义可知：（1）只有当矩阵的列数与矩阵的行数相等时，矩阵之积才有意义；（2）一般的地，即矩阵乘法不满足交换律。 说明：只有当矩阵的列数与矩阵的行数相等时，矩阵之积才有意

4、义，因此当 与交换后，矩阵的列数不一定等于矩阵的行数，因此交换后不一定有意义； 即使交换后仍有意义，但若一个（）阶的矩阵与的矩阵的乘积是一个阶方阵，而一个的矩阵与一个阶的矩阵的乘积是一个阶方阵，显然不会是同一个矩阵； 即使交换后所得矩阵为同阶矩阵，但运算结果仍可能不一样。 如设， 则， 而， 显然，两个新矩阵任意相同位置的对应项均不一定相等。 特别地，当矩阵为单位向量时，若和均有意义，则此时。三、应用举例：例1、已知矩阵，求和解： 例2、若，试求的值。解：，即。例3、将下列线性方程组写成矩阵的形式：（1） （2）解：（1） （2） 例4、如果，矩阵就称为与可交换，若，求所有与可交换的矩阵。解：

5、由题意知：矩阵必为2阶方阵，设（）则 由可得：，（）四、课堂练习：1、3名同学共同去购买文具，甲买了2支钢笔，3支圆珠笔，4支铅笔，1块橡皮；乙买了2支钢笔，2支圆珠笔，2支铅笔，4块橡皮；丙买了1支钢笔，3支圆珠笔，2支铅笔，2块橡皮。已知钢笔每支10元，圆珠笔每支4元，铅笔每支1元，橡皮每块2元，试计算每个同学的消费情况。解：可将每人购买钢笔、圆珠笔、铅笔、橡皮的数目用矩阵来表示，而钢笔、圆珠笔、铅笔、橡皮的单价可用矩阵则每人费用即甲花了38元，乙花了38元，丙花了28元。2、分别计算、的值，由此猜想（）的值，并证明你的结论。解：，猜想：证明：（用数学归纳法）1）时结论显然成立； 2）假设（）时结论成立，即 则时， 时结论成立 根据1）、2）对，均有成立。五、小结： 本课学习了矩阵的乘法，对于矩阵乘法，必须注意：（1）