13第十三章-存储论

1、,管理运筹学,第十三章 存储论,第十三章,存储论,存储是缓解供应与需求之间不协调情况的有效措施。,存储论主要解决存储策略问题，如:,（1）补充存储物资时，每次补充数量（Q）是多少？ （2）应该间隔多长时间（T）来补充这些存储物资？,存储论通过不同的存储模型解决以上问题。,经济订购批量存储模型,经济生产批量模型,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,经济订货批量折扣模型,需求为随机的单一周期的存储模型,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,需求为随机变量的定期检查存储量模型,经济订购批量存储模型,经济生产批量模型,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,经济订

2、货批量折扣模型, 1,经济订购批量存储模型,经济订购批量存储模型，又称不允许缺货，生产时间很短存储模型，是一种最基本的确定性存储模型。这种存储模型具有以下特点：,（1）需求率D为常量或近似于常量； （2）无限供货率或生产时间近似为零； （3）不允许缺货； （4）费用包括单位存储费用 c1和每次订购费 c3； （5）每期初进行补充，每次订货量Q为常量。, 1,经济订购批量存储模型,例1 益民食品批发部为附近200多家零售店提供货源。批发部负责人为了减少存储成本，在12周需求基础上，制定正确的存储策略。, 1,经济订购批量存储模型,需求量：近似为常量，每周3000箱。 存储费：一是购买方便面占用资

3、金的利息。方便面每箱30元，银行贷款年利息为12%，一年的利息款为3.6元。二是储存仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用等为2.4元。则存储费c1为6 元/年箱。 订货费：订一次货所支付的手续费、电话费、交通费、采购人员的劳务费等c3为25元/次。, 1,经济订购批量存储模型,每次订货量应该等于多少才能使得总的费用最少呢？, 1,经济订购批量存储模型,下图表示存储量 Q 与时间 T 的关系，在0 至 T 的时间里，平均存储量为 Q/2，则 O 至 Tn 的时间里的平均存储量也为 Q/2。, 1,经济订购批量存储模型, 1,经济订购批量存储模型, 1,经济订购批量存储模型, 1,经济订购批量

4、存储模型,灵敏度分析：,最优存储策略是在每次订货费为 25 元，存储率为20%下求得的，但是一旦每次订货费或存储率预测值有误差，该存储策略会有多大变化呢？ 管理运筹学软件计算了当存储率和订货费发生变动时，最优订货量及其最小的一年总费用以及取定订货量为1140.18 箱时一年的总费用。, 1,经济订购批量存储模型,19%,19%,23,27,1122.03,1215.69,21%,21%,23,27,1067.26,1156.35,6395,6396.38,6943.67,6929.2,6723.75,6738.427,7285.00,7285.717,当订货量 Q = 1140.18时,在经济

5、订购批量存储模型中，当存储率和每次订货费有一些小变化时，最优方案比较稳定。, 1,经济订购批量存储模型,在最优方案后，批发部根据具体情况进行了一些修改。,（1）订货周期2.67天不符合工作习惯，把订货周期改为3天，则订货量为：3300052/365=1282 箱。,（2）为防止每周需求超过 3000 箱，每天多存储 200 箱，则第一次订货量为 1282+200=1482 箱，每隔 3 天补充 1282 箱。,（3）提前一天订货时，订货点为427箱。如果需要提前两天订货，则再订货点为4272=854 箱。, 1,经济订购批量存储模型,则益民批发部在该情况下一年的总费用为,经济订购批量存储模型,

6、经济生产批量模型,允许缺货的经济订购批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,经济订购批量折扣模型, 2,经济生产批量模型,经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间 模型，这也是一种确定型的存储模型。这种存储模型具有以下特点:,（1）需求率（单位时间的需求量）为 d； （2）生产率（单位时间的产量）为 p有限供货率； （3）不允许缺货； （4）费用包括单位存储费 c1和每次的生产准备费 c3； （5）每期初进行生产补充，补充量为Q。, 2,经济生产批量模型,下图表示存储量与时间的关系。, 2,经济生产批量模型,每次的生产时间t为 Q/p，最高库存量为(pd)Q/p。到T时刻存储量为0，则0

7、到T时间内的平均存储量为(pd)Q/2p ，存储费为,另一方面，单位时间的生产准备费为c3d / Q，进而，单位时间的总费用 TC 为：, 2,经济生产批量模型, 2,经济生产批量模型,例 2. 有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计该书架今年一年的需求量为 4900 个。存储一个书架一年的费用为 1000 元。这种书架的生产能力为每年 9800 个，组织一次生产的费用为 500 元。为了降低成本，该公司如何组织生产？要求求出最优的生产量、相应的周期、最少的年度费用以及每年的生产次数。,从题可知，年需求率 d=4900（个/年），年生

8、产率 p=9800（个/年）c1 =1000（元/个年），c3 = 500（元/次） 代入公式可得，,解：, 2,经济生产批量模型,经济订购批量存储模型,经济生产批量模型,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,经济订购批量折扣模型, 3,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货是指企业在存储量降至 0 时，不急于补充，等一段时间，然后订货。当新的补充一到，企业立即将所缺的货物交付给顾客，不进入库存。如果允许缺货，企业只需要支付少量的缺货费用，这样企业就可以利用“允许缺货”这个宽松条件，少付几次订货费用，少付一些存储费用，从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有利的。, 3,允许

9、缺货的经济订货批量模型,（1）需求率（单位时间的需求量）为 d； （2）无限供货率； （3）允许缺货，且最大缺货量为 S； （4）费用包括单位存储费 c1，每次的订货费 c3，和单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2； （5）当缺货量达到 S 时进行补充，且很快补充到最大存储量。,这种存储模型的特点如下:, 3,允许缺货的经济订货批量模型,下图表示存储量与时间的关系。, 3,允许缺货的经济订货批量模型,设每次订货量为Q，由于最大缺货量为S，则最高库存量为 QS，故不缺货时期内的平均存储量为(QS)/2，于是，周期 T 内的平均存储量=(QS)t1/2T。由于t1=(QS)/d，T=Q

10、/d，则周期T内的平均存储量=(QS)2/2Q。 又周期T内的平均缺货量=(St2)/2T。由于t2=S/d，T=Q/d，故周期T内的平均缺货量=S2/2Q。故单位时间的总费用TC为, 3,允许缺货的经济订货批量模型, 3,允许缺货的经济订货批量模型,例 3. 假如在例 2 中图书馆设备公司不生产书架，只销售书架，其销售的书架靠订货提供而且都能及时供货。该公司一年的需求量为4900 个，一个书架一年的存储费用为 1000 元，每次订货费为 500 元，每年的工作日为 250 天。 问： （1）不允许缺货。求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，每年的订购次数和一年的总费用。 （2）允许缺

11、货。设一个书架缺货一年的缺货费为 2000 元。求使一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，相应的最大缺货量，同期中缺货的时间，不缺货的时间，每年的订购次数和一年的总费用。, 3,允许缺货的经济订货批量模型,解： （1）, 3,允许缺货的经济订货批量模型,(2),经济订购批量存储模型,经济生产批量模型,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,经济订购批量折扣模型, 4,允许缺货的经济生产批量模型,此模型与允许缺货的经济订货批量模型相比，库存靠生产逐步补充，而不是订购。开始生产时，一部分产品满足缺货和需要，剩余产品作为存储。生产停止时，靠存储量来满足需要。这种存储模型具有以下

12、特点：,（1）需求率（单位时间的需求量）为 d； （2）生产率（单位时间的产量）为 p 有限供货率； （3）允许缺货，且最大缺货量为 S； （4）费用包括单位存储费 c1，每次的订货费 c3，和单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2； （5）当缺货量达到 S 时进行补充，且逐步补充到最大存储量。, 4,允许缺货的经济生产批量模型,这种模型的存储状态图如图所示。, 4,允许缺货的经济生产批量模型,平均存储量=,=,在不缺货期间t1和t2内的平均存储量为,=,而在缺货期内存储量都为零，可以计算出平均存储量，其值等于一个周期的平均存储量： 平均存储量=周期总存储量/周期时间,将相关公式代入

13、上式中得：, 4,允许缺货的经济生产批量模型,平均缺货量=,同样，我们知道在t3和t4期间的平均缺货量为S/2，在t1和t2期间的缺货量都为零，可求得： 平均缺货量=一个周期的平均缺货量 =周期内总缺货量/周期时间 =（周期内不缺货时总缺货量+周期内缺货时总缺货量）/周期时间,=,=,将相关公式代入得：, 4,允许缺货的经济生产批量模型,单位时间的总费用 TC =（单位时间的存储费）+（单位时间的生产准备费） +（单位时间的缺货费） =（平均存储量）c1 +（单位时间的生产次数）c3 +（平均缺货量）c2, 4,允许缺货的经济生产批量模型, 4,允许缺货的经济生产批量模型,例4 假设例 2 中

14、图书馆设备公司在允许缺货的情况下，其总费用最少的最优经济生产批量和最优缺货量为何值？此外，一年的最少费用应该是多少？假定每年的书架需求量为 4900 个，每年的生产能力为 9800 个，每次的生产准备费为 500 元，每个书架一年存储费用为 1000 元，一个书架缺货一年的缺货费为 2000 元。,解：,经济订购批量存储模型,经济生产批量模型,允许缺货的经济订货批量模型,允许缺货的经济生产批量模型,4,经济订购批量折扣模型, 5,经济订购批量折扣模型,在前面四节中，单位货物的进价成本即货物单价都是固定的，而本节中的进价成本是随订货数量的变化而变化的。 所谓货物单价有“折扣”是指供应方采取的一种

15、鼓励用户多订货的优惠政策，即根据订货量的大小规定不同的货物单价。通常，订货越多购价越低。,式中 c 为当订货量为 Q 时的单位货物的进价成本。,因此，在订货批量的模型中总费用可以由三项构成，即, 5,经济订购批量折扣模型,（1）需求率（单位时间的需求量）为 d； （2）无限供货率（单位时间内入库的货物数量）； （3）不允许缺货； （4）费用包括单位存储费 c1，每次的订货费为 c3，单位货物的进货成本即货物单价为 c； （5）每期初进行补充，即期初存储量为 Q。,这种存储模型的特点如下：, 5,经济订购批量折扣模型,设货物单价 c 为订货量 Q 的分段函数， 即 c（Q） = ki， QQi-

16、1， Qi)，i = 1，2，n， 其中 k1 k2 kn，Q0 Q1 Q2 Qn，Q0 是最小订购数量，通常为 0； Qn为最大批量，通常无限制。,全量折扣模型, 5,经济订购批量折扣模型,下图是n=3时c（Q）和TC的图形表示。,当订货量为 Q Qi-1， Qi)时，由于 c(Q)= ki ，则有, 5,经济订购批量折扣模型,由微积分可知，分段函数 TC(Q) 的最小值只可能在区间的端点和驻点达到。为此，我们需要先找出这些点。由于 TCi 中的 Dki 是常数，求导数为 0，所以，类似于模型一，得 TCi 的驻点,由此可见，总费用TC也是Q的分段函数，具体表示如下。, 5,经济订购批量折扣

17、模型,由 TC 的图形知，如果 TCi 的驻点 Q 满足 Qi-1 Q Qi ，则计算并比较TCi ( Q )，TCi+1(Qi)，TCi+2(Qi+1)，TCn (Qn1) 的值，其中最小者所对应的 Q 即为最佳订货批量 Q*，即 Q*满足, 5,经济订购批量折扣模型,Q 50 时， 50 Q 100 时， 100 Q 时，,k1 = 500 元， k2 = 480 元， k3 = 475 元，,c1(1)=500*20% =100（元/个年） c1(2)= 480*20% = 96（元/个年） c1(3)= 475*20% = 95（元/个年）,例 5.图书馆设备公司准备从生产厂家购进阅览

18、桌用于销售，每个阅览桌的价格为 500 元，每个阅览桌存储一年的费用为阅览桌价格的 20%，每次的订货费为 200 元，该公司预测这种阅览桌每年的需求为300 个。生产厂商为了促进销售规定：如果一次订购量达到或超过 50 个,每个阅览桌将打九六折，即每个售价为 480 元；如果一次订购量达到或超过 100个，每个阅览桌将打九五折，即每个售价为 475 元。请决定为使其一年总费用最少的最优订货批量 Q*，并求出这时一年的总费用。,解：,已知 D = 300 个/年，c3 = 200 元/次。, 5,经济订购批量折扣模型, 5,经济订购批量折扣模型,TC1( )=TC1(35)=153464元 T

19、C2(Q1)=TC2(50)=147600元 TC3(Q2)=TC3(100)=147850元,计算得,比较上面的数值，得一年的总费用最少为147600元，因此，最佳订货批量为 Q*= 50。,需求为随机的单一周期的存储模型,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,需求为随机变量的定期检查存储量模型, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,单一周期存储是指在产品订货、生产、存储、销售这一周期的最后阶段把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。 本节将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布的存储模型。, 6,需求为随机的单一周期的存储模型

20、,报童问题：报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验，每日售出 d 份报纸的概率 P(d)是已知的。报童每售出一份报纸赚 k 元，如果报纸未能售出，每份赔 h 元，问报童每日最好准备多少份报纸？,这就是一个需求量为随机变量的单一周期的存储问题。需要解决最优订货量 Q 的问题。如果订货量 Q 过大，报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量 Q 过小，报童就要因缺货失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量 Q，才能使这两种损失的期望值之和最小呢？, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,设售出d份报纸的概率为P(d)，从概率论可知,综合（1）（2）两种情况，当订货量为 Q 时，

21、其损失的期望值 EL 为,下面求出使 EL(Q)最小的 Q 的值.,（1）当供大于求时(Q d)，因不能售出报纸而每份损失 h 元，其数学期望为,（2）当供不应求时(Q d)，因缺货而少赚钱造成的机会损失为每份损失 k 元，其期望值为, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,设报童订购报纸最优量为 Q*，这时其损失的期望为最小，即,从（1）推导有,化简后得：,从（2）推导有,化简后得：, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,报童所订购报纸最优数量 Q*份应按下列的不等式确定,例6 某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利 15 元，如果当天不能售出，每一百张赔 20 元。每日售出该报纸份数的概率

22、P(d)根据以往经验如下表所示，试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。,6,需求为随机的单一周期的存储模型,满足不等式,因此，最优的订报量为每天 800 张，此时其赚钱的期望值最大。,要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知 k = 15,h = 20，则有,故当 Q = 8 时，有,解：, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,此公式既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。 如果只考虑连续型随机变量，此公式又可以改写为,上述公式改写成, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,例7 某书店拟在年前出售一批新年挂历。

23、每售出一本可盈利20元，如果年前不能售出，必须削价处理。由于削价，一定可以售完，此时每本挂历要赔 16 元。根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为 550 本，最高需求为 1100 本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？,则由公式得,由此求得 Q* = 856（本），并从 P(d Q*) = 5/9 可知，这时5/9 的概率挂历有剩余，有 1-5/9=4/9 的概率挂历脱销。,由题意知挂历的需求量是服从区间550，1100上的均匀分布的随机变量，k = 20，h = 16，则其需求量小于 Q*的概率为,解：, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,例8 某化工公

24、司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值 =1000（公斤），标准差 =100（公斤）的正态分布。化工公司生产一公斤此种产品的成本为 15 元，根据合同固定售价为 20 元。合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤 19 元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存储至六个月后再供应给客户，只能以每公斤 5 元的价格处理

25、掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？, 6,需求为随机的单一周期的存储模型,根据题意得 k =5 - 1= 4，h = 15 - 5= 10，利用公式得,解：,需求为随机的单一周期的存储模型,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,需求为随机变量的定期检查存储量模型, 7,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,在多周期存储模型里，由于需求为随机变量，无法求得周期（即两次订货时间间隔）的确切时间，也无法求得再次订货点确切来到的时间。,再订货点和订货量的最优解的近似方法，具体步骤如下。 （1）假定r 为再订货点，即当库存量下降到 r 时订货，m 天后到货。根据具体

26、情况制定出服务水平，即制定在 m 天里出现缺货的概率，不出现缺货的概率为 1。利用下式求出 r P（m 天里需求量r）= 1。 （2）设全年的需求量近似为 D，用经济订货批量存储模型求出（每次的）最优订货量 Q*。, 7,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,例9 某装修材料公司直接从厂家进地砖进行销售。双方合同规定，在公司填写订货单后一个星期内厂家把地砖运到公司。根据以往的数据统计分析知道，在一个星期里此种地砖的需求量服从均值 =850 箱，均方差 =120 箱的正态分布，每次订货费为 250 元，每箱地砖的成本为 48 元，存储一年的存储费用为成本的 20%。公司规定的服务水平为允许由于

27、存储量不够造成的缺货情况为 5%。公司应如何制定存储策略，使得一年的订货费和存储费的总和为最少？,首先按经济订货批量存储模型求出最优订货批量 Q*。已知每年的平均需求量 D =85052 = 44200 箱/年，c1 = 9.6 元/箱年，c3 = 250元，得,解：, 7,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,每年平均约订货 44 200/1 51729 次。由服务水平，得P（一个星期的需求量r）= 1 = 1 0.05 = 0.95 则 查标准正态分布表，得,r = 1047，安全存储量为 rdm =1047850 =197 箱。 在这样的存储策略下，在订货期有 95%的概率不会出现缺货

28、，有5%的概率会出现缺货。,需求为随机的单一周期的存储模型,需求为随机变量的订货批量、再订货点模型,需求为随机变量的定期检查存储量模型,7,8, 8,需求为随机变量的定期检查存储量模型,需求为随机变量的定期检查存储量模型是另一种处理多周期的存储问题的模型。在这个模型里，管理者要定期检查产品的库存量，根据现有的库存量来确定订货量，需要依照规定的服务水平制定出产品的存储补充水平 M。一旦确定了 M，也就确定了订货量 Q： Q = MH， 式中 H 为检查时的库存量。 该模型适合于经营多种产品并进行定期清货盘点的企业，只要制定了各种产品的存储补充水平，根据清货盘点的各种产品的库存量，马上可以确定各产品的订货量，同时进行各种产品的订货。, 8,