2017届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略坐标系与参数方程课件理.ppt

1、坐标系与参数方程,1.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),则,cos,sin,x2+y2,2.常见圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为r的圆:_. (2)圆心为M(a,0),半径为a的圆:_. (3)圆心为M( ),半径为a的圆:_.,=r,=2acos,=2asin,3.常见直线的极坐标方程 (1)直线过极点,直线的倾斜角为:_. (2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:_. (3)直线过点M( ),且平行于极轴:_.,=(R),cos=a,sin=a,4.直线、圆与椭圆的参数方程,(t为参数),(为参数),(为参数),【易错提醒】 1.忽略条件致

2、误:极坐标与直角坐标互化的前提条件是把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位,否则两者不能互化.,2.忽略范围致误:在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,热点考向一极坐标与直角坐标的互化 命题解读:主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的几何意义,同时考查了转化与化归思想.,【典例1】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C

3、2的极坐标方程. (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,【解题导引】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式求解. (2)利用极坐标方程和极径的几何意义求出|MN|即可.,【规范解答】(1)因为x=cos,y=sin,所以C1的 极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2- 2cos-4sin+4=0. (2)将= 代入2-2cos-4sin+4=0,得2- 3 +4=0,解得1=2 ,2= .故1-2= ,即 |MN|= .由于圆C2的半径为1,所以C2MC2N,所以 C2MN的面积为 .,【规律方法】解决极坐标系问题的策略 (1)如果题目

4、中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程,则可以统一转化到直角坐标系中,利用直角坐标系的定理、公式解题.,(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂,不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显,比如已知两个点的极坐标,求两个点间的距离,则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离.,【变式训练】(2016乌鲁木齐二模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆=2cos与圆=sin交于O,A两点. (1)求直线OA的斜率. (2)过O点作OA的垂线分别交两圆于点B,C,求|BC|.,【解析】(1)由 得2cos=sin,tan=2, 所以

5、kOA=2. (2)设由题意知,tan=2, 则 则 代入=2cos得,代入=sin得 所以|BC|=1+2=,【加固训练】在极坐标系中,已知圆C经过点 ,圆 心为直线 与极轴的交点,求圆C的极坐 标方程.,【解析】方法一:点 的直角坐标为(1,1),直线 的直角坐标方程为 x-y- =0, 令y=0,得x=1, 则圆心坐标为(1,0),故半径r=1, 则所求圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 化为极坐标方程为=2cos.,方法二:因为圆C圆心为直线 与极轴的 交点,所以在 中令=0,得=1. 所以圆C的圆心坐标为(1,0). 因为圆C经过点 , 所以圆C的半径为PC= 所以圆C经过极

6、点.所以圆C的极坐标方程为=2cos.,热点考向二参数方程与普通方程的互化和应用 命题解读:主要考查参数方程与普通方程的互化公式、参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义.,【典例2】(2016衡阳二模)已知曲线C的参数方程为 (t为参数). (1)求曲线C的普通方程. (2)过点P(0,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的取值范围.,【解题导引】(1)根据(t2-4)2+(4t)2=(t2+4)2消去参数. (2)写出直线的参数方程,根据参数t的几何意义求解.,【规范解答】 (1)因为 又因为x= -1,1), 所以C的普通方程为x2+ =1,x-1,1).,(2)设直

7、线l的参数方程为 (为倾斜角，且 ）, 代入曲线C得:(1+3cos2)t2+2sint-3=0, 设两根为t1,t2, 所以|PA|PB|=|t1t2|= 因为 ,故|PA|PB|,【规律方法】 1.参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入消参法. (2)三角恒等式法:利用sin2+cos2=1消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.,(3)常见消参数的关系式:,2.参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 (1)可以统一成普通方程处理. (2)利用参数方程中参数解决问题,如利用直线参数方程中参数的几

8、何意义解决与距离有关的问题,利用圆锥曲线参数方程中的参数角解决与最值相关的问题.,【变式训练】(2016重庆二模)在直角坐标系xOy中,过点P( )作倾斜角为的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N. (1)写出直线l的参数方程. (2)求 的取值范围.,【解析】(1) (t为参数).,(2)将直线参数方程代入x2+y2=1, 得t2+( cos+3sin)t+2=0, 由0,有 , 因为t1t2=20, 所以,【加固训练】已知直线l: (t为参数),以坐 标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线C的极坐标方程为=2cos. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程

9、. (2)设点M的直角坐标为(5, ),直线l与曲线C的交点 为A,B,求|MA|MB|的值.,【解析】(1)=2cos等价于2=2cos, 将2=x2+y2, cos=x代入, 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,.,(2)将 代入, 得t2+5 t+18=0, 设这个方程的两个实数根分别为t1,t2, 则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.,热点考向三极坐标与参数方程的综合应用 命题解读:主要考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化,以及极坐标方程与参数方程的应用,同时考查转化与化归能力.,【典例3】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t

10、为参数,且t0),其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:=2 cos. (1)求C2与C3交点的直角坐标. (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题: 把曲线C1的方程化为极坐标方程,由此写出点A,B的极坐标; 根据极径的几何意义将|AB|用含的三角函数表示出来; 利用三角函数知识求最值.,【规范解答】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和,(2)曲线

11、C1的极坐标方程为=(R,0),其 中0. 因此A的极坐标为(2sin,),B的极坐标为 (2 cos,). 所以|AB|=|2sin-2 cos|= 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4.,【母题变式】 1.若本例题的条件不变,试写出C2,C3的参数方程,并写出C2,C3的极坐标. 【解析】曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0, 即x2+(y-1)2=1, 曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0, 即(x- )2+y2=3,因此曲线C2的参数方程为 曲线C3的参数方程为 由本例题知曲线C2,C3交点的直角坐标为(0,0)和 则它们的极坐标为(0,0)和,2.若本例题条件改

12、为“已知平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的参数方程为 (为参数),A,B在曲线C上,且A,B两点的极坐标分别为 ”试求: (1)把曲线C的参数方程化为普通方程和极坐标方程. (2)求线段AB的长度.,【解析】(1)曲线C的普通方程为 化为极坐标方程为 (2)把极坐标 代入曲线C的极坐标方 程 中, 得,所以|AB|=,【规律方法】解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法 与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆,处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程,利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题,另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利

13、用参数方程,化为三角函数的最值问题处理.,【变式训练】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.,(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,【解析】(1) (t为参数), 所以x2+(y-1)2=a2. 所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 方程为x2+y2-2y+1-a2=0. 因为x2+y2=2,y=sin, 所以2-2sin+1-a2=0,即为C1的极

14、坐标方程.,(2)C2:=4cos, 两边同乘,得2=4cos, 因为2=x2+y2,cos=x, 所以x2+y2=4x. 即(x-2)2+y2=4. C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3. -得:4x-2y+1-a2=0,即为C3, 所以1-a2=0, 所以a=1.,【加固训练】(2015平顶山一模)已知直线l的参数 方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为 (为参数).,(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐 标为 ,判断点P与直线l的位置关系. (2)设点Q是曲线C上的一个动点,求点Q到直线l的距离 的最大值与最小值的差.,【解析】(1)把点P的极坐标 化为直角坐标为