机械振动学习题解答.ppt

1、机械振动学习题解答（一）,陈一凡,邮箱 电话 189 172 17582 此课件已上传至ftp:/ 用户名 yfchen 密码 public,2012-04-13,14 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。,解：简谐振动的位移 速度速度幅值 加速度加速度幅值 由题意， 所以，圆频率 振幅周期 最大加速度,16 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？,解：对物体受力分析 当 N = 0 时，物体开始脱离台面，此时台面的加速度为最大值。即 又由于 所以,N,mg,物体,台面,17 计算两简谐运动

2、和 之和。其中 。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。,解： 当 时， 拍振的振幅为2X，拍频为 （不是 ）,可变振幅,振幅为10 拍频为2Hz 拍的周期为0.5s（不是1s）,可变振幅 拍振的振幅为 （假设X2较小），拍频为,补充 若两简谐运动振幅和频率都不同：,振幅为13 拍频为1Hz,可变振幅,22 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。,解：（力法）假设杆顺时针偏转了角，则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边弹簧弹力之和 由动量矩定理 得 又由于 上式可化简为,mg,F,（能量法）设

3、系统处于静平衡位置时势能为0。当杆顺时针偏转角时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得,列系统微分方程的一般步骤 力法1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或）；2）分析系统受到的所有力 （或力矩 ）；3）由牛顿第二定律 （或动量矩定理 ）列方程。 能量法1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或）；2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势能 ），动能V= （或 ），耗散能P：3）由能量守恒原理 列方程。,25 求图示弹簧质量滑轮系统的振动微分方程。,解：（力法）静平衡时有： （为弹簧的伸长量） 假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆盘沿逆时针方向转过x/r角 质量m圆盘M 联立得,

4、mg,F,x,M, r,k,考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？,F,F,（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0，当弹簧相对于平衡位置伸长x时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得,m,x,M, r,k,可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。,解：（力法）静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即m3的力矩大于m1的力矩）假设L2杆顺时针旋转角 由动量矩定理 化简得,26 图示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质量忽略）,注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即

5、所以,（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0 势能 动能 耗散能 由能量守恒原理 化简得,m1和m3参与静平衡，重力势能抵消了弹簧静变形的势能。,27 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽略）,解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0 动能 势能 由能量守恒原理 化简得,m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和k2静变形的势能。,211 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。,解：对小车m沿x方向施加作用力F，使小车产生位移x。则弹簧k1伸长 ，弹簧k2伸长 。小车受力其中所以等效刚度,F2,F,F1,F2,212 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距左端O为 nL 处设

6、一支承点，如图所示。求杆对O点的等效质量。,解：设弹簧k以速度 发生变形，则杆的质心的运动速度为于是系统动能： 而等效系统的动能：由Ve=V，得,绕质心转动,随质心平动,213 如图所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。,解：当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时，自由端的位移为 ，所以悬臂梁自由端的等效刚度为,而系统的等效刚度相当于悬臂梁的等效刚度与弹簧k串联,系统的等效质量,计算系统等效刚度、等效质量的方法 1）计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即：在质量上施加外力F，使其发生位移x，则ke=F/x。 2）计算

7、等效质量的原则是利用等效前后系统动能不变。即：令弹簧以速度 发生变形， 3）计算系统等效刚度时，也可“分部”计算，即：把系统分成几个部分，计算每部分的等效刚度，再把各个刚度串联或并联起来。,31 如图所示，设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m上、下振动的固有频率。,解：在a点施加竖直作用力Fa，使其产生位移xa，并设此时k1变形x1，k2变形x2。由杆a受到的力矩平衡，知 。所以a点等效刚度,ka与k3串联后的等效刚度为,b点的等效刚度计算与a点类似： 于是质量m的固有频率,33 如图所示，一长度为L、质量为m的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘

8、性阻尼器支承。求：(1) 系统作微振动的微分方程；(2) 系统的无阻尼固有频率；(3) 系统的临界阻尼。,解：(1)（力法） 化简得 (2) (3)根据临界阻尼时的条件 得到,注意：临界阻尼是指阻尼元件c的临界值，不是系统阻尼项的临界值。,35 如图所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高度为 h 处自由降落到m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。,解：系统的运动规律为简谐振动： 且系统位于平衡位置处的弹簧伸长量所以系统的初始位移，即m1单独悬挂时的弹簧伸长量减去平衡位置处弹簧伸长量 而系统的初始速度可根据两物体接触瞬间所满足的动量定理得到,m2,m1,k,52 一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5kg，弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数c = 0.70 Ns/cm。求：(1)阻尼比；(2)有阻尼固有频率；(3)对数衰减率；(4)任意二相临振幅比值。,解：(1) (2) (3) (4),54 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m =