2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十一、数列(逐题详解)

1、2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十一、数列（逐题详解） 第I部分 1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列【答案】D【解析】设公比为，因为，所以成等比数列，选择2.【2014年福建卷（理03）】等差数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） A8 B10 C12 D14【答案】C【解析】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，公差d=a2a1=42=2，a6=a1+5d=2+52=12，故选：C3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列的公差

2、为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D【答案】C【解析】等差数列an的公差为d，an+1an=d，又数列2为递减数列，=1，a1d0故选：C4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列中，则数列的前8项和等于（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】等比数列an中a4=2，a5=5，a4a5=25=10，数列lgan的前8项和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故选：C第II部分 5.【2014年上海卷（理08）】设无穷等比数列的公比为，若，则 .【答案】【解析】：，6.【2014年广东卷（理13）】若等比数

3、列的各项均为正数，且，则 。【答案】【解析】由题意得，又，=.7.【2014年北京卷（理12）】若等差数列满足，则当_时的前项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a80，a80，又a7+a10=a8+a90，a90，等差数列an的前8项为正数，从第9项开始为负数，等差数列an的前8项和最大，故答案为：88.【2014年江苏卷（理07）】在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 【答案】4【解析】根据等比数列的定义，所以由得，消去，得到关于的一元二次方程，解得，9.【2014年天津卷（理11）】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若、成等比数列，则的值为_.【

4、答案】【解析】依题意得，所以，解得.10.【2014年安徽卷（理12）】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_【答案】1【解析】由题意得设代入上式得，故公比第III部分11.【2014年重庆卷（理22）】设（1） 若，求及数列的通项公式；（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.解：（1）当时，平方变形为：，故为等差数列，首项为，公差为，故，故（2）此时，当时求得不动点，计算前几项得发现，猜测存在。下面证明加强结论。当时已经验证结论成立。假设，则由在上单调递减可知：，即也是成立的。由数学归纳法可知对任意成立。所以存在常数满足题意。12.【2014年湖南卷（理20）】(本小题

5、满分13分) 已知数列满足，. （1）若是递增数列，且，成等差数列，求的值； （2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.解：（1）因为是递增数列，所以，而，因此 ，又，成等差数列，所以，因而，解得或， 但当时，与是递增数列相矛盾，故. (2) 由于是递增数列，因而 ，于是 且 ，所以 则可知，因此， 因为是递减数列，同理可得，故， 由即得 . 于是 故数列的通项公式为13.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的公差为，而，从而有若，此时不成立若，数列是一个单调

6、递增数列，随着的增大而增大，也不满足当时，数列是一个单调递减数列，要使，则须满足即，又因为为整数，所以，所以此时（2）由（1）可得所以.14.【2014年山东卷（理19）】(本小题满分12分） 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）令=求数列的前项和。解：（I）解得（II）15.【2014年四川卷（理19）】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为所以 因为点在函数的图象上，所以，所以又，所

7、以（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而， 所以故16.【2014年天津卷（理19）】（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，.，集合.，.，.当，时，用列举法表示集合；设、，.，.，其中、，.，.证明：若，则.解：(1)当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)q

8、n2qn1qn110，所以st.17.【2014年全国新课标（理17）】(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【解析】：()由题设，两式相减，由于，所以 6分（）由题设=1，可得，由()知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，（），因此，存在存在，使得为等差数列. 12分18.【2014年全国新课标（理17）】（本小题满分12分）已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）

9、证明：. （1）由得又，所以， 是首项为，公比为3的等比数列。=，因此的通项公式为=（2）由（1）知=因为当n1时，所以，于是，=所以，19.【2014年江苏卷（理20）】设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称是“H数列。”（1）若数列的前n项和=（n），证明：是“H数列”；（2）设数列是等差数列，其首项=1.公差d0.若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列” 和，使得=（n）成立。（1）证明：= ，=（n），又=2= ，（n）。存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d ，若是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得

10、。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0 又m ， ，d，且为整数。（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=+（-1），=+1，= （）同理= （）取=k由题=+（-1）+（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1）可得为等差数列。即可构造出两个等差数列和同时也是“H数列”满足条件。20.【2014年北京卷（理20）】（本小题13分）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值

11、.（只需写出结论）.解：（I） =8（） . 当m=a时，= 因为，且，所以 当m=d时， 因为，且所以。 所以无论m=a还是m=d，都成立。（）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小， =10， =26， =42， =50， =52 21.【2014年广东卷（理19）】（本小题满分14分）设数列的前和为,满足，且，(1)求的值;(2)求数列的通项公式。【解析】，又，又，综上知，；（）由（）猜想，下面用数学归纳法证明当时，结论显然成立；假设当（）时，则，又，解得，即当时，结论成立；由知，22.【2014年湖北卷（理18）】已知等差数列满足： 2，且

12、 成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记 为数列的前 项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（）根据的通项公式表示出的前项和公式,令，解此不等式。 【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有化简得，解得或当时，当时，从而得数列的通项公式为或。（2）当时，。显然此时不存在正整数，使得成立。当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41。综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41。23.【2014年江西卷（理17）】（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式；

13、(2) 若，求数列的前n项和.【解析】（1）同时除以，得到2分即：3分所以，是首项为，公差为2的等差数列4分所以，5分(2) ，6分9分两式相减得：11分12分24.【2014年上海卷（理23）】(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分. 已知数列满足，. (1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若，求的取值范围；(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.【解析】：（1）依题意，又， 综上可得； （2）由已知得，又， 当时，即，成立 当时，即， ，此不等式即， ， 对于不等式，令，得，解得， 又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立综上，的取值范围为（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，则由已知得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差25.【2014年浙江卷（理19）】（本小题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且，.求与；设.记数列的前项和为.求；求正整数，使得对任意，均有.解：（）a1a2a3