导热微分方程.ppt

1、第六章 导热 （Conduction Heat Transfer）,主讲：荆海鸥 授课班级：成型0713 2009年11月,主要内容,6.1 导热微分方程 6.2 一维稳态导热计算 6.3 非稳态导热 6.4 一维非稳态导热 6.5 二维及三维非稳态导热,主要内容,导热微分方程的建立和分析 边界条件和初始条件 平壁的稳态导热计算 单层平壁 多层导热 圆筒壁的稳态导热计算 单层圆筒壁 多层圆筒壁,1 导热微分方程的建立和分析,导热微分方程的概念 导热微分方程是导热温度场内温度分布的微分形式的数学表达。 建立导热微分方程的必要性 傅立叶定律给出了导热量和温度梯度的关系： 一维稳态导热可以用傅立叶定

2、律直接求解，多维或非稳态导热的求解必须要首先知道温度场中的温度分布规律才可以求解温度梯度，从而求解导热量的大小。,1 导热微分方程,例如,分力变量,不定积分,代入边界条件,求解常数项,将常数代入方程,两式相减 得,1 导热微分方程,建立导热微分方程的理论依据： 能量守恒定律 傅立叶定律,左图为导热体中的一个微元六面体。设该六面体的材料为： 常物性； 各向同性； 内热源均匀。,则在dt时间内：,1 导热微分方程,设m(x,y,z)点的温度为T。则单位时间内，导入六面体的热量为,设单位时间、单位体积内热源生成的热量为qv,，则,导出热量,导入热量,1 导热微分方程,整理得：,若为稳态、无内热源时,

3、导热微分方程是描述导热过程共性的数学表达式，对于任何导热过程，都是适用的，是求解一切导热问题的出发点。,1 导热微分方程,在圆柱坐标系中：,若为一维、稳态、无内热源时,在球坐标中：,1 导热微分方程,若为一维、稳态、无内热源时，方程为：,1 导热微分方程,有了微分方程，怎样求解？,非稳态导热问题的定解条件：初始条件； 边界条件。,定解条件：初始时刻的温度分布，即初始条件； 物体边界上的温度分布，即边界条件。,稳态导热问题的定解条件：边界条件。,2 初始条件和边界条件,规定了边界上的温度值。,规定了边界上的热流密度值。,规定了边界上物体与流体间的对流换热系数h以及周围流体的温度Tf。,导热问题的

4、三类边界条件：,3 平壁的稳态导热计算,大平壁概念,厚度长和高的尺寸（通常 ）时，平壁称为大平壁。,大平壁导热时，厚度方向的温度变化率长和宽度方向的温度变化率，所以忽略边界上长度和宽度方向的导热。,工程上很多平壁导热都可以看成是大平壁导热。,3 .1 单层平壁的稳态导热计算,T,一维稳态无内热源的导热微分方程为,积分得温度分布通式,边界条件,则,此时,温度的直线分布规律,3.2 多层平壁的稳态导热计算,根据单层导热可以写出,整理后两端相加得,热阻,各等温面上的q值相等,3.2 多层平壁的稳态导热,若是n层平壁，则,小结,导热微分方程：,傅立叶定律：,平壁稳态导热量计算：,导热例题,炉墙内层为4

5、60mm厚的硅砖，外层为230mm厚的轻质粘土砖。内表面温度为1600，外表面温度为150 。求热流密度q及硅砖和粘土砖交接面上的温度。 解：查附表,设T2 =1000 得 1=1.84 W/(m K) 和 2= 0.4495 W/(m K) ,重设T2=1100 得 1=1.87 和 2 = 0.4625 计算得 q”=1933 W/m2 计算得T2=1116 误差：,答：热流密度为1933 W/m2，接触面温度为1110。,误差：,4 圆筒壁的稳态导热计算,当 时，可忽略轴向的导热。,圆筒壁导热在工程中应用很多。如圆筒式换热器。,特点： 导热沿半径方向自内向外（或自外向内）； 等温面的面积

6、逐渐增大（或减小）； 导热热流量沿途不变； 单位面积上的热流量逐渐减小（或增大）； 单位长度上的热流量相等的。,4.1 单层圆筒壁的稳态导热计算,由傅立叶定律可知,分离变量得,定积分,热流量为,单位长度上的热流量为,4.1 单层圆筒壁的稳态导热计算,用导热微分方程如何导出其计算式？,即,4.1 单层圆筒壁的稳态导热,当 时，可按平壁计算。,此时用 来计算导热面积A。,用 作为厚度。,然后代入平壁导热计算公式计算到热量。即,4.2 多层圆筒壁的稳态导热,n层圆筒壁时热流量为,三层圆筒壁导热时，热流量为,单位长度上的热流量为,关于例题求解方法,请看例题： P96的例题 6.1，求解q的大小。 P9

7、7 的例题 6.2，求解q和夹层壁面温度T的大小。 P99 的例题 6.3，求解壁厚的情况。 求解方法（1）： 由导热问分方程建立温度T与坐标和时间的具体关系式； 求解温度梯度； 代入傅里叶定律获得热流量计算式； 代入已知条件求解题目要求的未知数。 求解方法（2）： 直接由傅里叶定律分力变量后积分获得热流量计算式； 代入已知条件求解题目要求的未知数。,关于例题求解方法,第二种方法对于导热系数为变数，或沿导热方向导热界面积为变量的情形尤为有效。如,分离变量，并注意到与x无关，得,将上式右端乘以 , 得,所以有,所以，只要把具体问题中的A与x之间的关系代入之后，就可以进行计算了。,即，回归到,即，

8、用导热系数的算数平均值代入后，即适用于变导热系数的计算问题。,关于接触热阻,以上的计算是在假设接触面两侧保持同一温度，即假定两层壁面之间保持了良好的接触。 实际上，由于任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。 因此，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，不接触处存在空隙，热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。 既然有热阻，两端就存在温差。,T,关于接触热阻,目前，不同接触情况下的热阻主要靠实验确定。 有关接触热阻数值大小的确定可以参考有关的文献： 杨世铭. 传热学. 第二版. 北京：高等教育出版社，1978.6466 Flether L S. Recent developments in contact heat transfer. ASME J Heat transfer, 1988.110(4):10591070 强化传热需减小接触热阻。,American Society of Mechanical Engineers,哥伦比亚号在2003年1月16日升空，2月1日在德克萨斯州上空爆炸解体，机上7名太空人全数罹难,解体前的英姿,左翼保温层的裂缝,7名宇航员,球壁导热计算问题（自学）,采用如图的球壁导热仪来确定一种紧密压实的型砂的导热率。被测材料的内、外径分别为d1=75mm