ch8位移法-jyc.ppt

1、1,结构力学教程（I）,姓 名：江 宜 城 Email：土木工程与力学学院,2,第8章 位移法,3,8-1 位移法概述 8-2 位移法未知量的确定 8-3 杆端力与杆端位移的关系 8-4 利用平衡条件建立位移法方程 8-5 位移法举例 8-6 基本体系和典型方程法 8-7 对称性的利用 8-8 其它各种情况的处理,主 要 内 容 ：,4,掌握： 位移法基本结构的确定， 位移法典型方程的建立， 方程中的系数和自由项的计算， 弯矩图的绘制。 熟练掌握： 用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。 重点掌握： 荷载作用下的超静定结构计算 剪力图和轴力图的绘制、 利用对称性简化计算。 了解： 温度改变、支

2、座移动下的超静定结构计算。,基 本 要 求：,5,8-1位移法概述, 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。,第二种位移法：以基本未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力。,分析超静定结构时，有两种基本方法：,第一种 力法：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移。,力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变形协调条件）。,位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,6,8-1位移法概述, 位移法是以结点的位移作为未知量的。, 位移法是以力法作为基础的。,位移法的解题思路:,结点位

3、移与杆端位移分析,DA伸长：,DC伸长：,由材料力学可知：,BD伸长：,7,8-1位移法概述,由方程解得：,位移法方程,把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：,由结点平衡：,8,8-1位移法概述, 由结点平衡或截面平衡，建立方程；, 结点位移回代，得到杆端力。,总结位移法解题的步骤：, 确定结点位移的数量；, 写出杆端力与杆端位移的关系式；, 解方程，得到结点位移；,9,8-2位移法未知量的确定, 位移法是以结点的位移作为未知量的。, 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点（初学）, 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。, 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=。,10

4、,结点转角的 数目：3个,位移法基本未知量确定,结点转角,数目=刚结点（包括半铰联结的刚结点） 的数目,在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。,8-2位移法未知量的确定,独立结点线位移,指支承点以外的结点所发生的线位移。,11,确定位移法基本未知量：,判断结点线位移的位置和数目，需根据结构的情况采取不同的方法,8-2位移法未知量的确定,简单结构：由观察直接判断线位移发生的位置和数目。,图示刚架，A、B、D、G为四个不动点，不考虑杆件的轴向变形EF两结点无任何方向的线位移。结点C在水平方向受EC和CF的支承，无水平线位移，沿竖向无约束可以发生竖向线位移。,A,B,D,C,E,F,G,12,确定

5、位移法基本未知量：,8-2位移法未知量的确定,复杂结构：可用铰化结点、增设连杆的方法确定线位移发生的位置和数目将原结构的刚结点和固定支座均改为铰结，得到一个相应的铰结体系，使该铰结体系保持几何不变时，需添加的最少连杆数为原结构独立的结点线位移数。,图示刚架，作铰结体系，进行几何分析。,至少结点B（E、F）上增加一根竖向支杆、在结点D(E)、F(G)上各增加一根水平支杆铰结体系几何不变原结构有三个线位移。,13,有四个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：,8-2位移法未知量的确定,有两个刚

6、结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：,确定基本未知量：,14,结点转角的数目：7个,1,2,3,相应的铰接体系成为几何不变需要增加的连杆数=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3,8-2位移法未知量的确定,确定基本未知量：,15,有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为：,桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：,8-2位移法未知量的确定,例题：,16,8-2位移法未知量的确定,两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、

7、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：,17,对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是： 对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。,8-2位移法未知量的确定,18,8-2位移法未知量的确定,分析方法： 该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。 水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移，BC杆平移至BC，然后它绕B转至D点。,结论： 该题有两个未知量： 其中BA杆的线位移为： BC杆的线位移为

8、：,思考：,19,刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。,8-3杆端力与杆端位移的关系,对于BC杆：其变形及受力情况与： 一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载q以及在固定端B处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力可以用 力法求解。,杆长为：L 未知量为：,BC杆,刚结点B处：两杆杆端都发生了 角位移 ；,20,8-3 杆端力与杆端位移的关系,结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。,BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移 的结果,其杆端力也可以用力法求解。,为此，把各种

9、单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。,用力法求解:单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩。,21,杆端力和杆端位移的正负规定: 杆端转角A、B ，弦转角/l 都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。,杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。 剪力和轴力的规定与原来相同。,8-3 杆端力与杆端位移的关系,22,8-3 杆端力与杆端位移的关系,下面对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力

10、法进行逐个求解。,23,8-3 杆端力与杆端位移的关系,力法求解：一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。,24,8-3 杆端力与杆端位移的关系,例： 一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。,（用力法实际求解）,25,8-3 杆端力与杆端位移的关系,1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。,2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 。,EI,L,EI,L,MAB,MBA,26,8-3 杆端力与杆端位移的关系,3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。,4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。,27,8-3 杆端力与杆端位移的

11、关系,6、一端固定一端滑动单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。,5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。,28,8-3 杆端力与杆端位移的关系,7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。,8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移。,29,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表）。,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,30,X1=1P / 11,=3ql/8,1=11X1 + 1P=0,各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成了载常数表,M图, 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。,载

12、常数计算（用力法） （一端固定，一端简支）,31,由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（P）,32,8-3 杆端力与杆端位移的关系, 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用 下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。,33,转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：,=,+,+mAB,+mBA,已知杆端弯矩求剪力： 取杆件为分离体建立平衡方程：,注：1、MAB, MBA绕杆端顺时 针转向为正。 2、 是简支梁的剪力。,34,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表）。,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,35,由跨间荷载引起的杆端力称为载常数,36,8-3 杆端力与杆端位移的

13、关系,1、两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端 弯矩表达式：,37,8-3 杆端力与杆端位移的关系,2、一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：,3、一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：,38,8-3 杆端力与杆端位移的关系,利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。,BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角 以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：,BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端支座发生了转角 ，方向假设为顺时针，杆端弯矩：,例：,杆长为：L,39,8-

14、3 杆端力与杆端位移的关系,例：,未知量2个：,BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 水平位移 ，还有均 布荷载作用下，杆端弯矩表达式：,BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 、以及在集 中力作用下，杆端弯矩表达式：,40,8-4 利用平衡条件建立位移法方程,基本思路 先拆、后装，即： 1）化整为零逐杆写出杆端弯矩式表达式； 2）拼零为整汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 ，对于任意的隔离体都 应满足 或 。,41,8-4 利用平衡条件建立位移法方程,位移法方程,BA杆：杆端弯矩表达式：,BC杆：杆端弯矩表达式：,42,例：,未知量2个：,8-4 利用平衡条

15、件建立位移法方程,43,求FQBA,取BA杆,由,8-4 利用平衡条件建立位移法方程,44,8-5 位移法举例,例1：,杆长为：L,BA杆,BC杆,2. 写出杆端力的表达式,3. 建立位移法方程,取B结点，由 ,得:,45,4. 解方程，得:,5. 把结点位移回代，得杆端弯矩,6. 画弯矩图,M图,8-5 位移法举例,46,例2：,未知量：,2. 杆端弯矩表达式,取出B结点:,8-5 位移法举例,47,求FQBA,求FQBC,把FQBCFQBA代入方程中得：,8-5 位移法举例,48,例3：,8-5 位移法举例,取出D结点:,49, ,50,51,位移法方程：, , , , ,8-5 位移法举

16、例,52,小结：,（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移时)， 思路与方法基本相同； （2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容： 在基本未知量中，要含结点线位移； 在杆件计算中，要考虑线位移的影响； 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。,8-5 位移法举例,53,8-6 基本体系和典型方程法,1、位移法基本结构 1）基本结构概念单跨超静定梁的组合体。 （用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。 2）构造基本体系,（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂,阻止刚结点转动（不能阻止移动）；,（2）在可能发生线位移的结点，加

17、上附加链杆,阻止结点线位移（移动）。,54,例：构造图示结构位移法的基本体系。,基本体系,经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超 静定梁组成的组合体即为位移法的基本体系。,8-6 基本体系和典型方程法,55,2、利用基本体系建立位移法方程,1）基本原理 先锁、后松。 锁住将原结构转换成基本结构。把原结构“拆 成”孤立的单个超静定杆件； 放松将基本结构还原成原结构。即强行使“锁 住”的结点发生与原结构相同的转角或线位移。,2）位移法典型方程的建立与求解,8-6 基本体系和典型方程法,56,=,+,+,在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有力产生, 而三个图中的力加起 来应等于

18、零。,8-6 基本体系和典型方程法,57,基本结构,=,+,+,M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加力。,8-6 基本体系和典型方程法,58,在M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加力加 起来应等于零。,为了统一，把未知量都用Z来表示，则方程为：,方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中 刚臂和链杆中产生的附加力。,由反力互等定理可知：,8-6 基本体系和典型方程法,59,求系数和自由项的方法是：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。,由M2图：,8-6 基本体系和典型方程法,由M1图：,60,由MP图：,把系数和自由项代入典型方程，有：,位移法方程,8-6 基

19、本体系和典型方程法,61,F1=0 F2=0, 1, 2,位移法 基本体系,F1=0 F2=0,例：,62,F1=0 F2=0,k11、k21 基本体系在1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,k12、k22 基本体系在2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。,63,8-6 基本体系和典型方程法,64,如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：,是副系数，

20、有正有负。,由反力互等定理可知：,物理意义是：由第j个结点发生单位位移 后，在第i个结点位移处产生的反力。,8-6 基本体系和典型方程法,65,例1：用典型方程法计算图示结构,杆长均为L,EI为常数。,解：1、未知量：,2、基本结构如右图所示,原结构,基本结构,3、位移法方程,8-6 基本体系和典型方程法,66,4、求系数和自由项,取B结点：,取E结点：,取BE截面：,8-6 基本体系和典型方程法,图,67,图,取B结点：,取E结点：,取BE截面：,8-6 基本体系和典型方程法,68,图,取B结点：,取E结点：,取BE截面：,8-6 基本体系和典型方程法,69,图,取B结点：,取E结点：,取B

21、E截面：,8-6 基本体系和典型方程法,70,把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：,省略后面的计算。,8-6 基本体系和典型方程法,71,解：1、未知量：,2、基本结构如上图所示,基本体系,3、位移法方程,8-6 基本体系和典型方程法,原结构,72,4、求系数和自由项,取C结点：,取D结点：,取B结点：,基本体系,8-6 基本体系和典型方程法,73,把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：,省略后面的计算。,8-6 基本体系和典型方程法,74,小结：,与力法进行对此分析。位移法分析超静定结 构，其解题步骤与方法同力法极为相似。 （1）确定基本未知量，取基本体系。,未 知 量： 力 法多余未

22、知力； 位移法未知角位移、线位移。 基本体系：力 法静定结构； 位移法单跨超静定梁的组合体。,8-6 基本体系和典型方程法,75,（2）列典型方程 建立方程条件: 力 法去掉多余约束处的位移条件； 位移法附加约束上约束反力的平衡条件。,方程的性质: 力 法变形协调方程； 位移法力的平衡方程。,（3）作 MP、 图，求系数和自由项,8-6 基本体系和典型方程法,力 法：先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力作用下的弯矩图MP 、Mi；,76,然后应用图乘法求出载荷FP、单位多余未知力（xi=1)所引起的（去掉多余未知力处的）位移，即系数和自由项： i P、 i j、 ii、 j j；,位移法：

23、 先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（ i=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表画）； 然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项F i p、k i j、 k i j、k ii ：,8-6 基本体系和典型方程法,77,（4）解典型方程，求基本未知量,力 法： 解多元一次方程组，求得多余未知力xi； 位移法： 解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位移Zi 。,位移法：,8-6 基本体系和典型方程法,（5）绘制最后内力图采用迭加法。,力 法：,78,8-7 对称性的利用,对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计算, 所以先介绍半刚

24、架的取法。,蓝线是结构在对称荷载作用下的 变形，对称点C的位移和内力如下：,取半刚架如左图所示：,以单跨刚架为例,1、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下,79,蓝线是结构在对称荷载作用下的 变形，对称点C的位移和内力如下：,取半刚架如左图所示：,2、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下,以双跨刚架为例,8-7 对称性的利用,80,蓝线是结构在反对称荷载作用下 的变形，对称点C的位移和内力如下：,取半刚架如左图所示：,3、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下,以单跨刚架为例,8-7 对称性的利用,81,蓝线是结构在反对称荷载作用下的变形，在对称点C处只有一对剪力FQC存在。,取半刚架如下图所示：,4、偶数跨对

25、称刚架在反对称荷载作用下,以双跨刚架为例,对原结构进行改造，如图1、图2所示。,图1,图2,8-7 对称性的利用,82,小结：,（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的 （2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的 （3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和； （4）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个

26、数少，就优先选用谁。,8-7 对称性的利用,83,例1：利用对称性计算图示结构。,解：由于有两根对称轴，可以取1/4 刚架进行计算。,原结构,基本体系,8-7 对称性的利用,84,8-7 对称性的利用,85,M图,8-7 对称性的利用,86,例2：利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为L，EI也均相同。,原结构,解：1、由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。,2、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。,=,+,原结构=对称+反对称,8-7 对称性的利用,87,对称情况，只是三根柱受轴力，由于 忽略轴向变形，不会产生弯矩， 因此不用计算。,反对称情况，梁发生相对错对，

27、因此会产生弯矩，但左右两半是 对称的，可取半刚架计算。 由于对称，中柱弯矩为零，因 此可以不予考虑。,8-7 对称性的利用,+,原结构,88,反对称情况的半刚架：,对此进行求解,8-7 对称性的利用,89,反对称情况的半刚架：, ,8-7 对称性的利用,90,8-8 其它各种情况的处理,1、支座移动时的计算,例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。,解：,未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。,91,取BC截面：,8-8 其它各种情况的处理,92,2、温度发生变化时的计算,例：图示结构的温度较竣工（0）时发生了变化， 用位移法求解。,解：,BA杆轴线处温度提高17.5, 杆件伸长：17.5L,由温度引起的侧移：,B 的 位 置,8-8 其它各种情况的处理,BC杆轴线处温度提高15, 杆件伸长：15L,93,8-8 其它各种情况的处理,P281282,94,3、组合结构的计算,例：用位移