高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课堂探究学案 新人教B版选修

1、2.1 曲线与方程课堂探究探究一 曲线与方程的概念问题曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)0的解，并且以方程F(x，y)0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据判断点与曲线关系的方法(1)从点的坐标角度若点M(x0，y0)在方程f(x，y)0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)0；或若f(x0，y0)0，则点M(x0，y0)不在方程f(x，y)0表示的曲线C上(2)从方程的解的角度若f(x0，y0)0，则点M(x0，y0)在方程f(x，y)0所表示的曲线C上；或若点M(x0，y0)不在方程f(x，y

2、)0表示的曲线C上，则f(x0，y0)0.【典型例题1】 如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)0的解，那么以下说法正确的是()A以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上B以方程F(x，y)0的解为坐标的点有些不在曲线C上C不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)0的解D坐标不满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：真子集；相等据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的答案：D探究二 曲线方程的求法解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：(1)建立恰当的坐标系

3、：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简)(2)利用题目条件，建立等量关系：根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，常用到一些基本公式，如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点M有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简(3)挖掘题目隐含条件，避免“少解”与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点，或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上【典型例题2】 已知平面上两个定

4、点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为21，求动点M的轨迹方程思路分析：因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系考虑到对称性，由|AB|2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(a,0)，B(a,0)，然后求解解：如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系由|AB|2a，可设A(a,0)，B(a,0)，M(x，y)因为|MA|MB|21，所以21，所以2.化简，得2y2a2，所以所求动点M的轨迹方程为2y2a2.【典型例题3】 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C(x，y)满足2，求动点C的

5、轨迹方程思路分析：A，B分别在x轴、y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足2，代入即可得轨迹方程解：因为长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，故可设A(x0,0)，B(0，y0)又因为动点C(x，y)满足2，所以(xx0，y)2(0x，y0y)，即(xx0，y)(2x，2y02y)，所以又因为|AB|3，即9，所以(3x)229.整理得动点C的轨迹方程为x21.方法总结 求曲线方程常见方法的注意点(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求(2)相关点代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方

6、程，有时也称代入法其基本思想是，如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某一条已知的曲线C：f(x，y)0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)0即可求得动点轨迹方程(3)待定系数法：根据题意正确设出曲线方程，明确待定系数，寻找待定系数的方程时一定要充分挖掘题中条件，特别注意隐含条件探究三 求曲线的交点问题已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x，y)0，G(x，y)0，则点P(x0，y0)是曲线C1，C2的交点点P的坐标(x0，y0)满足方程组且方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点

7、；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点【典型例题4】 试讨论圆x2(y1)24与直线yk(x2)4(k为参数)交点的个数思路分析：只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可解：由得(1k2)x22k(32k)x(32k)240，4k2(32k)24(1k2)(32k)244(12k5)当0，即k时，直线与圆有两个不同的交点；当0，即k时，直线与圆有一个交点；当0，即k时，直线与圆没有交点探究四 易错辨析易错点忽视验证造成增解【典型例题5】 求以A(2,0)，B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程错解：设点C的坐标为(x，y)ABC为圆内接三角形且以AB为直径ACBC，则kACkBC1.kAC，kBC，1.化简，有x2y240.即点C的轨迹方程为x2y240.错因分析：(1)在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上