单因子实验及变异数分析.ppt

1、Chap 3 單因子實驗及變異數分析,Single-Factor Design 1、完全隨機設計 Completely Randomized Design (Chap3) 2、區集設計 (Chap4) Complete Randomized Block Design Latin Squares Design Balanced Imcomplete Block Design 3、共變量設計 Randomized Design with Covariate (15-3) 4、隨機變因設計 Randomized Design with Random Factor (Chap 14),Single-f

2、actor experiment with a treatments, A1 , , Aj , , Aa The number of the observations under Aj is nj. The experiment is performed in a random order. (避免未知干擾因素的影響),Completely Randomized Design, CRD,dsn3_1,3,3-1 EXAMPLE (p61) 調查 RF power setting 及 etch rate 之關係 Factor : RF power Response : etch rate 取 4

3、 levels (treatments) : 160w, 180w, 200w, 220w 每一level 測試 5 件，即 為5 replicates these 20 runs are in a random order (see p62),Data and average,dsn3_1,4,預檢資料 由資料的圖形看出那些直觀的結論？如何佐證？,(1) RF power setting affects the etch rate, (2) higher power settings result in increased etch rate. (3) The variability in

4、etch rate does not depends on the power setting.,資料圖,dsn3_1,5,上列三資料圖形，那一個是四組有明顯差異？那一個是四組無明顯差異？觀察四組的中心點和分散度，如何根據它們來分出有沒有明顯差異？,(c ),(b ),(a ),3-2 Aanlysis of Variance (ANOVA) 變異數分析,fixed effects model for balanced complete randomized design Yij = + i + ij , i= 1, a, j= 1, n Yij the (ij)th observation;

5、 the overall mean i the ith treatment effect; ij a random error,Data,Model,暫設各組樣本數相同,dsn3_1,7,說明 : 此資料含 a 個 treatments , 每一 treatment 有 n 個 replicates 固定因子時，稱為 fixed effect design 重複個數相同時，稱為 balanced design 此類模式稱為 linear statistical models,註 : 1、model Yij = + i + ij , 與 model Yij = i + ij 相同 2、balan

6、ced design 與 unbalanced design 的分析方法相同。 3、若 a 項 treatments 是隨機決定的，此時i 為一 random variable, 稱為 random effect model, 在 chap 12 討論此模式。,Subject,檢定因子的影響是否存在,等同於 檢定各處方的均值是否有差異,Yij = + i + ij,Yij = i + ij,分解 Total SS :,SST = SSTr + SSE,Thus, where SST : total corrected sum of squares (= SSY) SSTr : sum of s

7、quares due to treatments (組間平方和) SSE : sum of squares due to error (組內平方和),理 論,The fundamental ANOVA identity,註 : 1、是Yij的變異數，代表 整體Y的變化 2、此處將資料整體離差之平方和分解為 組間(平均數離差)平方和 及 組內(資料變化)平方和,為 a 組資料的 pooled sample varianced, 用以估計共同變異數,Mean Square,証明？,dsn3_1,11,期望值：,証明？,dsn3_1,12,分配：,註：Thm 3-1 Cochrans theorem

8、 : Q chi-square ( v ), and Q = Q1+ + Qs , Qs has vi degrees of freedom. Q1, , Qs are independent chi-square random variables with v1, , vs d. f. if and only if v = v1+ v2+ vs,2. SSTr 與 SSE 自由度的和 = SST 自由度,結論： When F0 F; (a-1 , N-a ) , reject H0； 因子的影響是顯著的，或，各組的平均值有顯著差異。,When H0 is not true, E(MSTr)

9、E(MSE)；F0 之值偏大。 故得到太大的 F0 值時，應該拒絕 H0，而 F0 是一F分佈，設定顯著水準為時，F；(a-1,N-a) 是臨界值。,檢定法,檢定量：,( p-值 = P(F F0)，當 p-值 時，拒絕 H0 ),The ANOVA Table for 1-way Fixed-effects Model,計算 :,ANOVA Table,N = na, SST = SSY,和,和,dsn3_1,15,3-1 EXAMPLE (p61) 調查 RF power setting 及 etch rate 之關係 Factor : RF power Response : etch r

10、ate 取 4 levels (treatments) : 160w, 180w, 200w, 220w 每一level 測試 5 件，即 為5 replicates these 20 runs are in random order (see p62),Data and average,yij2 = , yij = , yi.2 = , SST = SSTr = SSE =,參考SAS Output etch_rate,研究目的 : RF power 對 etch rate 是否有影響？,結論 ：在 0.01顯著水準， RF power 對 etch rate有顯著的影響。 ( 四組的平均

11、etch rate 有顯著的差異 ),( p-值 = 0.0001 ),dsn3_1,18,點估計,以下分別為i , i i 以及 ci i 的單一信賴區間。 (one-at-a-time C. I.),註： i , i i 可估計，但 i 不可估計,分布,區間估計,dsn3_1,19,快速計算法,資料經過線性轉換後，F-值不變。 故可重新編碼(coding) , 以簡化計算。 例3-1的資料減去 600，可得到同樣的 F0-值,Why?,Model : Yij = +i + ij , i= 1, a, j= 1, ni where i=0,Unbalanced Data,計算：,註 : un

12、balanced data 與 balanced data 的分析方法相同。 採用 balanced data 之優點： 1、當樣本數相同時，檢定量對違背同變異數較不敏感。 2、當樣本數相同時，檢定力達到最大。,每組的觀察個數不同,模式假設: ij NID( 0, 2)， 模式之三假設： Normality 常態性 Independence 獨立性 Homogeneity 同質性 ( Constant variance ),3-4 Model Adequacy Checking,藉由 residual 之值來檢查資料是否適合用 ANOVA,( t-化殘差),dsn3_1,22,1. 以殘差之

13、normal probability plot (Fig 3-4)及常態檢定結果來檢視常態性 2. 按實驗次序畫出殘差，檢視獨立性 (Fig 3-5) 3. 以殘差對各組平均數圖檢視同變異性 (Fig 3-6) 4. 以 Bartletts 或 Levenes 方法檢定同變異性。,6. 是否存在其他影響因素。,5. 當資料違反等變異數時，可以資料轉換修正。,Checking Guide,dsn3_1,23,Figure 3.5 (p. 78)殘差圖，橫軸為實驗順序,Figure 3.6 (p. 79)殘差圖，橫軸為 Y 估計值,Bartletts test (假設資料是常態) 由共同變異數與各

14、變異數之差異作為檢定的標準， Bartletts test 對常態的假設很敏感,等變異數檢定法,Modified Levene test 由各組絕對離差 (absolute deviation), dij ,為檢定的標準，應用ANOVA至 dij，由 F-test 之 p-值判斷各組分散度是否相等。 此法對違背常態的資料仍然是穩定的。,變異數與平均數相關時之轉換法,原理:,利用轉換式 Y*=Y1- ，將可得到 constant var.,dsn3_1,26,方法: 1. 由 yij 對各組平均數之圖 或 Si 對平均數之圖，觀察 之 趨勢，以決定值。 (Fig.3.7, fig.3.8),Bo

15、x-Cox 法: 以不同的值代入，得到 SSE()，取使達到最小的SSE()值。,dsn3_1,27,Figure 3.7 (p. 83)殘差圖，橫軸為 Y 估計值,Figure 3.8 (p. 84)Plot of log Si versus log y-barfor the peak discharge data from Example 3.5.,EXAMPLE 3.5 (p 81) 比較測量洪水頻率的四種方法 Factor : 方法 Response : 最高流量 5 treatments, 6 replicates,Analysis,method N Mean Std Dev 1 6 0.7100000 0.66109001 2 6 2.6266667 1.19220244 3 6 7.9300000 1.64707013 4 6 14.7150000