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高中 分离法 解题

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数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk“分离法” 解题记刘希栋江苏海州高级中学222023摘要：分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法本文通过“分离法”解2011年高考题时所历经的一喜一惊，反思数学教学中要致力于克服思维定式的消极作用，发挥思维定式的积极作用关键词：分离法；思维定势；反思教师版试题研究 解题技巧分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法通过分离参数， 用函数的观点讨论主变量的变化情况，由此确定参数的取值范围，这种方法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性等问题中参数的取值范围时经常用到笔者近日研究2011高考试题时，使用“分离法”解题历经一喜一惊，愿与同仁共勉襛“一喜” 偏爱有加解2011高考浙江卷理22后对“分离法”偏爱有加试题：设函数f（x）（xa）2lnx，aR（1）若xe为y=f（x）的极值点，求实数a；（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x（0，3e，恒有f（x）4e2成立注：e为自然对数的底数解题前，有青年教师认为该参考答案给人一种“云里雾里”的感觉如何让想法来得自然些，思路清晰些？ 经过思考讨论，柳暗花明，发现“分离法”解该题很有效（其他解法略 ） 第2问：注 意 到x（0，1时 ，恒 有f（x）4e2，以下研究x（1，3e的情形当x（1，3e时，由f（x）4e2，得2elnx%姨ax2elnx%姨， 即x2elnx%姨ax+2elnx%姨，一方面， 函数y=x2elnx%姨在（1，3e上单调递增，故a3e2eln（3e）%姨；另一方面，函 数g（x）=x+2elnx%姨，g（x）=x（lnx%姨）3ex（lnx%姨）3，g（e）=0，且当1xe时。g（x）0；当ex0，故g（x）min=g（e）=3e，故a3e所 以 实 数a的 取 值 范 围 是3e 2eln（3e）%姨a3e上面的解法方向明确， 过程易控，思路清晰解题后，一位同事感叹地说，含参问题应优先考虑用分离参数法襛“一惊” 刷新认识1.试题已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（1）求a，b的值；（2）如 果 当x0，且x1时 ，f（x）lnxx1+kx，求k的取值范围（2011高考全国课标卷理21 ）2解法回顾关于问题2， 河南童老师和陕西邱老师提供了“分离参数法”的解法，摘录如下（中学数学教学参考2011年第七期（上旬 ） 第41页 ）：“由（1）f（x）=lnxx+1+1x，由f（x）lnxx1+kx，得k0，x1恒成立令g（x）=2xlnxx2+1，则g（x）=2lnx+22x，g（x）=2x21，则g（x）0，可知g（x）递减，可得g（x）g（1）=0，可知g（x）递减，可得g（x）g（1）=0，则2xlnxx210；若0x0，可知g（x）递增，可得g（x）g（1）=0，则2xlnxx210综上所述，k0，且x1恒成立，只需要k（，0即可”3反例与点评笔者也曾有类似的想法，但总觉得41数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk难以令人信服，尝试着举出反例题目：已知m0，且x1恒成立，求m的取值范围仿照上面解题的方法步骤， 这样解：“令g（x）=xlnxx2+1，则g（x）=lnx+12x，g（x）=1x2=12xx，g12 =0，当x0时，g（x）g12 =ln21，则g（x）0，可知g（x）递减，有g（x）g（1）=0，则xlnxx210；若0x1，则g（x）g（1）=0，则xlnxx210综上所述，m0，且x1恒成立，只需要m（，0即可”但这个结论是错误的，“m（，0”是“m0，且x1恒成立”的充分条件，而非必要条件，因而也就不是充要条件%正确解法：令g（x）=1xlnxx21（x0， 且x1 ） .由 洛 比 达 法 则 可 得limx 1g（x）=1limx1xlnxx21=1limx1lnxx1x=1limx11x1+1x2=12.又g（x）=（x2+1）（x21）2lnx1+2x2+1，令h（x）=lnx1+2x2+1（x0），则h（x）=1x4x（x2+1）=（x21）2x（x2+1）2.若x1，则h（x）0，h（x）为增函数，h（x）h（1）=0，故g（x）0，g（x）为 增函数，所 以g（x）limg（x）x1=12，故此 时 有m12；若0x0，h（x）为 增 函数，h（x）h（1）=0，故g（x）limg（x）x1=12，故此时有m12综上可知，若m0，且x1恒成立， 则m的取值范围是（，12对这道高考试题， 从数学的角度看，将参数k分离出来，通过函数方法解参数问题，仍然是有效的；从学生的角度看，仅就高中生所学的数学知识和方法， 解决起来困难大多了对于含参数的问题，分离参数往往是有效的，但在某些情况下对学生来说有局限性4题眼分析：题眼包含两个方面：一是解决问题的突破口，二是解题者的眼光（2）由（1）知f（x）=lnxx+1+1x，故f（x）lnxx1+kx=11-x22lnx+（k1）（x21）x考虑函数h（x）=2lnx+（k1）（x21）x（x0），则h（x）=（k1）（x2+1）+2xx2设k0， 由h（x）=k（x2+1）（x1）2x2知，当x1时，h（x）0，得11-x2h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0，从 而 当x0， 且x1时 ，f（