弹塑性力学习题

1、.,两种平面问题的比较,.,5-8 楔形体受重力及液体压力,设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。,o,y,x,n,.,用半逆解法求解。,因为应力 , 而应力的量纲只比,高一次（L），,所以应力,(x , y 一次式）,=,即可假设应力为x , y 的一次式。,（1）用量纲分析法假设应力:,.,（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，,（3） 满足相容方程,（4）由 求应力，,.,（5）考察边界条件-本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。,x=0 铅直面，,解出,解出,.,斜边界上，,须按一般的应力边界条件来表示，有,.,其中,由式（b)解出a、b,最后

2、的应力解答,.,水平截面上的应力分布如图所示。,.,例题1,设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解 应力分量。,.,图3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,.,解：,本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。,1. 将 代入相容方程，显然是满足的。,2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。,.,考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15),.,在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：,

3、.,.,由(a),(b) 解出,最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。,.,代入应力公式，得,.,例题2,挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。,y,o,x,.,解：,用半逆解法求解。,假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即,.,2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，,所以,.,3. 由相容方程求应力函数。代入 得,要使上式在任意的x处都成立，必须,.,代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次

4、式。,.,4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 ， 体力求得应力分量为,.,考察边界条件： 主要边界 上,有,得,得,得,.,由上式得到,.,求解各系数，由,得,得,得,得,.,由此得,又有,代入A,得,.,在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：,由式(g),(h)解出,.,代入应力分量的表达式得最后的应力解答：,.,例题3,已知,试问它们能否作为平面问题的应力函数？,.,解：,作为应力函数，必须首先满足相容方程，,将 代入，,(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；,(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。,.,例题4,图中所示的矩

5、形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数,求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。,.,b,b,A,y,x,h,O,F,Fb/2,.,解：,应用应力函数求解：,(1) 校核 相容方程 ，满足.,(2) 求应力分量 ，在无体力时，得,(3) 考察主要边界条件，,均已满足,.,考察次要边界条件，在y=0上，,满足。,得,得,.,上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。,代入，得应力的解答，,.,(4) 求应变分量，,.,(5) 求位移分量，,.,将u,v代入几何方程的第三式，,两边分离变量，并全都等于 常数，即,.,从上式分别积分，求出,代入u,v,

6、得,.,再由刚体约束条件，,得,得,得,.,代入u,v,得到位移分量的解答,在顶点x=y=0，,.,例题5,图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数,求解应力分量。,.,y,x,o,h/2,h/2,l,.,解：应用上述应力函数求解：,(1) 将 代入相容方程，,由此，,.,(2) 代入应力公式，在无体力下，得,(3) 考察主要边界条件,.,对于任意的x值，上式均满足，由此得,(a),(b),(c),(d),.,由(3)+(4)得,由(3)-(4)得,由(5)-(1)得,(e),.,(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由,得,由式(2)和(6)解出,（f）,.,另两个积分的边界条件，,显然是满足的。,.,于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。,.,读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，,.,例题6,矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数,求解其应力分量。,M,q,q,h,y,x,o,b/2,b