应用数学-课件-第二章--第2讲-兰州大学信息院

1、2.3 不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式,由定理 2.2.2 知道，解析函数 在单连通域 内的积分只与起点 和终点 有关，假设 是该区域内连接 和 的两条简单曲线，则 和 分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限 在 内变动时，积分 可以看作是上限的函数，记为 对 ，有以下的定理：,定理 2.3.1 如果 在单连通域 内处处解析，则 在D内也解析，并且,定理2.3.2 任何两个原函数相差一个常数 【证明】 若 均为 的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理2.3.3 若函数 在单连通域 内处处解析， 为 f(z) 的一个原函数 ，那么 其中 , 为 中任意两点上式称为复积

2、分的牛顿莱布尼兹公式.,例2.3.1（非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,运用复积分的牛顿莱布尼兹公式有,【解法2】换元积分法 令,，则当,，有,；当,，有,所以,例2.3.2 求积分 ，并判断闭合环路积 分中换元积分法是否成立,【解法1】 作积分变换得：,?,例2.3.3 计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】 由于,在复平面内处处解析，,2.4 柯西积分公式,2.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式 定理 （柯西积分公式） 如果 在有界单通区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么 称

3、为柯西积分公式, 简称柯西公式但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别,由复积分性质知道根据 在 连续，则对任意小的 对应于R足够小，有 又该积分的值与R无关这就证明了 ，即为柯西积分公式。,证明,K为以Z0为中心，任意小为半径的一个圆，方向为正向。,它表明：对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 在积分环路C内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数 在 内解析，而 在 内，由柯西积分公式得,【

4、解】根据柯西积分公式，得到,故得到,2.4.2有界区域的复连通柯西积分公式,2.4.3 无界区域中的柯西积分公式,上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域;(2)复连通区域. 但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立,无界区域柯西积分公式 若f(z)在 某一闭曲线L的外部解析，并且当 时，则对于L外部区域中的 点有 这就是无界区域的柯西积分公式,注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别： （1）有界区域中柯西积分公式中的 是闭合曲线 内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的 为 外部的一点； （2）应用有界柯西积

5、分公式的条件是 在 内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在 外部解析，且当 时 ；,说 明,（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行，而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的区域在左手边） 故图2.10中的取顺时针方向即为正方向,2. 无界区域的柯西积分公式应用推广（当 不趋于零时） 假设 在某一闭曲线L的外部解析，则对于L外部区域中的点 有,2.4.4 解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在,定理 解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 其中 为 的解析区域 内并包含 的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于 ,【证明】如图2.11所示. 我们先证 的情况. 为了理解方便，不妨设 在边界C上取值. 设区域D内的 点的微小变化量为 ，其中 在区域D内部取值. 根据定义 由柯西积分公式得到,从而有,由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界. 即存在 ，使得在边界 上 ，设 为 到边界 上的点的最短距离，则,再考虑到 是 与 的微小偏移量，因此可取它满足 ， 则