1.4角平分线的性质

1、湘教版SHUXUE八年级下,角平分线的性质（一）,1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,2、什么是角平分线 一条射线将一个角分成为两个相等的角， 这条射线就叫做这个角的角平分线。,如图AOB沿射线OC对折， AOC 和COB重合。,如上图，射线OC是AOB的平分线。,A,你能证明吗？,3、用尺规作已知角的平分线：,作法：1以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N,3作射线OC,射线OC即为所求,如图：画AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PDOA，垂足为D，PEOB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？,PDOPEO(AAS),在OP上再取一个P点试一

2、试，结论成立吗？,将AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，即：PD=PE.,已知：OC是AOB的平分线， 点P在OC上，PD OA ，PE OB， 垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.,角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2，PDOA ，PEOB PD=PE.,交换定理的题设和结论得到的命题为：,到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。,角平分线的性质,注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。,角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。,角平分线的判定定理：,用符号语言表示为：,PD OA ，PE O

3、B，PD=PE 1= 2 .,分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明1= 2 . 则OP是角平分线，即点P在AOB的平分线上）,证明：RtPDORtPEO(HL)即可,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.,如图：已知P点是AOB内一点，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在AOB的平分线上。,举 例,1、如图，BAD= BCD=900 ，1= 2 . （1）求证：点B在ADC的平分线上 . （2）求证：BD是ABC的平分线 .,证明：（1） 1= 2 BA=BC，,点B在ADC的平分线上,（2）在RtBAD和RtBCD中，, BA=BC BD=B

4、D, RtBADRtBCD (HL),ABD= CBD, BD是ABC的平分线,BAD= BCD=900， BA AD，BC CD,例2、如图，在RtABC 中，C=90，BD是AB C的平分线 ，DEAB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？, C=90 （已知） DCBC（垂直的定义） 又 BD是ABC的平分线 DEBA（已知） DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）,答： (1) DE=DC,(2) BE=BC,角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径,做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?,1、填空： (1). 1= 2，DCAC， DEAB

5、 _ (_) (2). DCAC ，DEAB ，DC=DE _ （ ）,1= 2,DC=DE,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。,角平分线上的点到角的两边的距离相等,(3)如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 。,5,(3) AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） BD = CD ， （ ）,（2） 如图，DCAC，DBAB （已知） BD = CD，( ),2、判断以下所填结论是否正确：,（1） 如图，AD平分BAC（已知） BD= CD ( ),3.如图，ABC中，A=90，BD平分ABC，AD=6，BC

6、=16，DEBC，求BDC面积。, DE=AD=6（角平分线上的任意点 到角的两边的距离相等）,解： A=90 （已知）, DAAB（垂直的定义）,又 BD是ABC的平分线, DEBA DEBC（已知）,4.已知：如图，C=D=90 ，AC=AD . 求证:（1） ABC= ABD ； （2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）,证明： (1)C= D=90， BAD和BCD均为直角三角形，,又AC= AD，AB=AB RtBADRtBCD (HL),ABC= ABD,（2）由（1）得： CAB= DAB,即：AB是CAD的平分线,C= D=90，即：BCAC，BDAD, BC=BD,1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,3.角平分线的性