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高考 数学 命题 专家 发表文章

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d 中学数学月刊 2 0 0 8 年第 7 期 挖掘教材资源 ， 促进有效探究 新课程中向量视角下对“ 直线” 的再探究 徐瑶( 江苏省盐城中学2 2 4 0 0 5 ) 例 、 习题是教材的重要构成部分 ， 蕴含着 丰富的教学功能 教材编者从茫茫题海中精 挑细选出来的例、 习题， 往往都是学生掌握知 识、 开阔视野的重要载体， 是实现师生共同探 究的纽带， 尤其是在新课程背景下， 许多呈现 方式新型、颇具拓展性的知识星星点点地散 落在教材的例 、 习题之 中 因此充分挖掘教材 资源， 组织好例 、 习题的教学， 对转变学生学 习方式， 发展智力 、 提高数学思维品质极为重 要 下面以向量视角下对“ 直线” 的再探究为 例， 细说如何利用教材资源， 促进学生有效探 究 在新课标中， 直线是必修 2 “ 平面解析几 何初步” 研究的第一个对象， 是几何图形中最 为简单、 基本的形态 在必修 4中， 学生进一 步学习了向量知识 ， 向量具有“ 数” 与“ 形” 的 双重特征 ， 可以用有向线段来表示 从向量的 视角 ， 再度审视直线 ， 探究相关 内容， 一方面 有利于学生对直线认识的螺旋式提升，另一 方面也能让学生对向量的工具性作用有更深 切的体会， 可谓一举两得 基于以上思考，笔者在完成向量所有基 础知识的教学后，以苏教版必修 4 第 2 章中 部分例、 习题作为素材， 组织学生在向量形式 下 ， 对“ 直线” 进行 了一次再探究 1 提 出问题 以苏教版必修 4 第 7 9 页例 3 为切人点： 引例 已知直线 I i ： 一 2 y = 0和 1 2 ： x + 3 y = O ， 求直线 Z 和 Z 的夹角 此题是 2 4节“ 向量 的数量积” 的一道例 题 ， 安排此题 ， 教材的编者的意图很明显， 是 想体现向量工具性作用，充分考查学生学以 致用的能力 当我给出此题时 ，学生就很快分析 出解 题 的策略 ： 学生 1 只要分别在直线 Z 和 Z 上取两 个点， 找出可以代表直线方向的两个向量， 两 条直线 的夹角就可 以转化 为两个 向量的夹 角 具体如下： 解在直线 Z 上取两点 ( 2 ， 1 ) 和 ( 0 ， 0 ) ， 记 向量 口 = ( 2 ， 1 ) 一 ( 0 ， 0 ) ： ( 2 ， 1 ) ；在直线 Z 上 取两点( 3 ， 一 1 ) 和( 0 ， 0 ) ， 记向量 6 = ( 3 ， 一 1 ) 一 ( 0 ， 0 ) = ( 3 ， 一 1 ) 由 C O S ( 口 ， b ) = = l l l I 口j ： ，所以( 口 ， 6 ) ： IT， 即直 ， ， 。 一 、 5V 1 0 z + 线z 和z 的 夹角为孚 + 完成此题后，许多同学很有成就感和满 足感 在必修 2 “ 解析几何初步” 中， 由于当时 缺乏有效的思维工具 ， “ 直线的夹角”成了学 生心 中的“ 痛” ， 对直线的深入研究被搁浅 ， 没 有圆满彻底地将直线位置关系的研究进行到 底， 而现在处理得非常精妙， 让学生深切感受 到了向量方法 的巧妙和应用 的广泛 2 展 开探 究 然而，还有很多同学眼睛里充满了一种 继续探究下去的渴望， 笔者顺势启发引导， 激 活思维 既然向量可以研究具体直线的夹角， 为什么我们不以向量作为工具对“ 直线” 作一 次彻底的“ 再探究” 呢? 让学生就寻找探究方案展开讨论，通过 交流， 逐步达成共识， 从“ 平面解析几何初步” 中直线内容的逻辑体系出发， 进行探究： 学生2 ( 1 ) 直线的基本量： 斜率； ( 2 ) 直 线方程的几种形式：点斜式、两点式和一般 维普资讯 2 0 0 8 年第 7 期 中学数学月刊 5 式； ( 3 ) 直线的位置关系： 平行、 垂直、 两点间 距离公式 、 点到直线的距离等 2 1 斜率与向量探究的起点 老师斜率代表了直线的倾斜程度， 即 直线的方向， 如果找一个能表示直线方向、 且 与直线斜率有关的向量，就能将两者很好地 联系起来 如引例中直线上取的两个点所确 定的向量就可以表示直线的方向，我们把这 种在直线上的向量及与它平行的向量都称作 直线的方向向量， 请同学们思考： 直线的方向 向量与斜率之间有何具体的联系? 学生3 在直线 Z 上任取两个不同的点 P l( 。 ， Y 。 ) ， P 2 ( ， y 2 ) ， 则 e- = ( x 2 ， y 2 ) 一 ( l ， Y 1 ) = ( l ， y 2 _ y 1 ) 当直线 P 。 2 与 轴不垂直时， X 2 此 时，向量上 也是直线 P IP 2 的方向向 X 2 - XI 量 ，且它 的坐标是 上( 。 ， 。 ) = ( 1 ， X2 -X I ) = ( 1 ， k ) ， 其中k 是直线 P 。 2 ( 即Z ) 的斜 X2 -XI 率 学生4 好像不严谨， 这里只谈到X 2 。 的情形， 那么X 2 - X 。 时， 会怎样呢? 学生 5 此时， 直线与 轴垂直， 斜率不 存在， 没有讨论的必要， 应该说同学 3 的结论 准确地告诉了我们( 1 ， k ) 就是直线的方向向 量 以上讨论拉开了探究的序幕，为进一步 研究提供了可能 老师其实这就是教材第 8 4页的 “ 探 究 拓展” 第 8 题阅读题所要告诉我们的， 教 材也是希望同学们去了解它们的关系，与我 们的初衷不谋而合 阅读题还进一步要我们 用向量共线的方法推导直线的点斜式方程， 大家不妨一试 2 2 直线方程探究的展开 ( 1 ) 点斜式方程 学生6 设直线上任意一点 P的坐标为 ( ， Y ) ， 则 = ( ， y ) 一 ( Y 。 ) = ( ， y - y 。 ) ： A ( 1 ， i ) ， 即 X - X 消 去 A ， 得 y y l= y-yl k ( 。 ) ， 即表示过点 P 。 、 斜率为 k的直线的 点斜式方程 ( 2 ) 两点式方程 老师如何用向量知识去研究直线方程 的两点式呢?请思考l 已知直线 Z 经过点 P 。( 。 ， Y 。 ) ， P 2 ( ， y 2 ) ， 用向量方法求直线 Z 的方程( 教材第 8 3 页例 3 ) 学生 7 设 P ( ， Y )是直线 Z 上任意一 点 ， 则 = ( ， y 2 一 y 。 ) ， = ( ， y - y 。 ) 因为三点 P ， P i ， t 2 在直线 Z 上，故一P ,P 2 ， 是共线向量， 所以( X 2 。 ) ( y Y 。 ) = ( y 2 。 ) ( 一 。 ) ， 这就是直线 Z 的方程 当直线 Z 与坐标轴不平行时， X 2 ， Y 。 ， 可转化 为 = 盟， 即直线的两点式 ， r2 一 yI 2 l 方程 老 师 方程 = 丝与 ( X 2 。 ) ( Y yryI X 2 - XI Y 。 ) = ( y 2 。 ) ( 一 。 ) 有区别吗? 学生 8 无论直线是否与坐标轴垂直， 方 程( - ) ( y - y - ) = ( y 2 - ) ( X - X - ) 都可表示经 过 P l ， P 2 两点的直线， 而方程 = 则 r I X2 - X l 不能表示垂直于坐标轴的直线 ( 3 ) 一般式方程 老师所有的直线方程都可以化为一般 式， 那么一般式直线方程的系数与直线方向 向量又有何联系呢? 学生 9 设直线方程 的一般式为 A x + 8 y + C = 0 ， 其 方 向 向 量 为 ( 1 ， i ) = ( 1 ， 争 ) 寺 ( B， - A) ， 所以向量( B， - A) 为直线的方向向量 老师很好，你用很简洁的形式道出了 直线的一般式方程的系数与其方向向量的关 系， 请问由系数组成的另外一个向量 ， 与 维普资讯 6 中学数学月刊 2 0 0 8年第 7 期 方向向量( ， ) 有何关系?为什么? 学生 l 0 由于( ， ) ( A， B) = B A- 4 = 0 ， 故它们相互垂直 老师很好，我们把与直线垂直的向量 称为直线的法向量， 这里( A， ) 就是直线A x + B y + C = O的一个法向量 请大家阅读教材第 8 7 页“ 探究 拓展” 第 l 6 题 2 3 位置关系探究的深入 老师有了以上知识为基础，我们可以 更加深入地讨论直线与直线的位置关系了 给出直线方程： Z l ： A + 1y + C 1= 0 ， f 2 ： A 2x + B z y + C 2 = 0 ，则 向量 ， l l = ( A 1 ， B 1 ) ， n z = ( A 2 ， B 2 ) 分 别为两直线的法向量 ，下面请同学们分别研 究以下内容 ： ( 1 ) 两种特殊关 系 平行 学生 1 1 若 z 1 f 2 ， 则 l ， l 2 ， 所以A1 一 A 2 B 。= 0 ；反之，若 Z 。 ， f 2 不重合 ，则由A 。 一 A 。 = o也能得到 Z 。 f 2 即当两直线不重合 时 ， Z 1 1 B 2 - , 4 2 B I = 0 垂直 学生 l 2 若 Z 1 上f 2 ， 则 l 上，l 2 ， 即 l 2 0 ， 所 以 A 42 + 1 B 2 - 0 ； 反 之亦 然 ， 即 f 1 上f 2 铮 A 2 + 1 B z = 0 老师这与我们在必修 2“ 平面解析几 何初步” 中的结论完全一致 ( 2 ) 两点间距离公式 学生 l 3 A( 。 ， Y ) ， ( ： ， y 2 ) ， = ( ： 一 y 2 _ y 1 ) ： = A = IA -ifI = V( x 2 - x , ) 2+ ( y 2 - y , ) - ( 3 ) 点到直线的距离公式 学生 l 4 如图 1 ， 设点P ( x 。 ， y 0 ) ， 直线 I ：A x + B y + C = O ， 求点 P 到直线 Z 的距离 由 P向 直 线 Z 作垂线 ，垂足为 Q， ly 0 一 。 则 的方向向量为n ： ， ， 由向量共线定 理可设 = A ， l = A ， 又设 Q ( ， y ) ， P ( y 0 ) 则 -P = ( x - x 0 ， y - y o ) = ( A A ， A B ) f 一 0 = A A， f = 0 + A A， = = l y y o = AB y = y o + A B 因为点 Q在直线 Z 上， 所 以 A( 0 + A A) + B( y o + A B) + C = 0 A ) = 竹 A= 耕l 学生 l 5 同学 l 4是从确定垂足的角度 用向量方法来解决的， 我还有另一种想法 ， 从 向量的夹角出发 ： 设 M( x ， y ) 为直线 Z 上的任意一点 则满 足 A x + B y + c = 0 ， 且 口C ： 一 ( A x + B y ) 不管 ： = ， l ， 丽 )为锐角还是钝角， P到直线 Z 的距离都 为 = I I I c o s 0 f ，C O S 0 = 贵 ： A( X - X o ) + B ( y - y o )一特 I 丽 I一 I 端 I ：l ( 二 2 旦 【 2 l ：I 旦 I 、 x a z 一 笔者引导学生回忆传统证法， 并作比较， 体会向量证法的优越性 ( 4 ) 两条直线的夹角 学生 l 6 设直线 Z 。 ， f 2 的夹角为 ， ， l 。 ， ， l ： 的夹角为 ， 则 O = o t 或 O = tr 一 0 c 。 L T： ! 盐 垦 2 2 I ， l - f l， l z l 丽 ： I 旦 2 丽 砑 C O S 0 = I c o s 0 c I = IA删v 4z rB , Bz； I 老师这是对本课引例的一般性推广， 大家研究得非常深刻， 得出的结论十分精辟! 探究进行到这里，所有同学都露出了满 维普资讯 2 0 0 8 年第7 期 中学数学月刊 7 足的笑容 原来， 必修 2 “ 平面解析几何初步” 中所有与直线有关的知识从向量的角度得到 重构 不仅如此 ，直线中当时悬而未解的问 题“ 直线的夹角” 也得到圆满、 彻底地解 决， 同学们惊叹： 向量方法， 妙哉!妙哉1 2 4 对称、 平移探究的延伸 老师其实， 向量视角下对直线的“ 再探 究” 还不止于此， 利用向量知识， 还可以进一 步研究有关对称和平移等问题，请同学们课 后继续探究下去。 课后探 究 1 ： ( 1 ) 若点 P ( 口 ， b ) 与点 Q( b + 1 ， 口 一 1 ) 关于 直线 z 对称， 求直线 Z 的方程 ( 1 = 0 ) ( 2 )求直线 一 2 y 一 1 - 0 关于 + y 一 1 - 0的 对称的直线的方程。 ( 2 x - y - 2 = 0 ) 课 后探 究 2 ： ( 1 )如果直线 Z 沿 轴负方向平移 3 个 单位， 再沿 Y 轴正方向平移一个单位后， 又回 到原来的位置，那么直线 Z 的斜率是多少? ( |i 一丁 1) ( 2 ) 一般地， 把直线 A x + B y + C = O ( A， B不 同时为 O ) 沿 轴方向向右平移 h个单位、 向 上平移 k个单位， 即按向量口 = ( ， k ) 平移后 ， 当且仅当 a = A ( B ， - ,4 ) ， 其中A R， A O时， 所得直线与原直线重合 ( 证明略) 3 探 究反 思 向量视角下对直线的“ 再探究” 教学 ， 是 笔者和学生系统学习研究了教材中向量的全 部内容之后，结合必修 2中的相关知识所作 的一次探究性学习的尝试。 通过探究， 把直线 与向量有机地联系起来， 揭示了数学本质， 沟 通了内在联系， 使学生学过的知识结构化、 系 统化 数学中有很多知识是相互联系的，新教 材特别注重用联系的观点处理问题，教材中 例、习题为我们提供了丰富的素材和广阔的 探究空间 因此， 作为我们一线教