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高考 数学 命题 专家 发表文章

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2 0 1 0年第 7期 中学数学 月 刊 3 7 因 此g ( z ) 一g f 专1 4 ， 从而n 4 ； 、一t 0 1 当 ； ； ； f l r f z 其 中 能 使 f ( x ) f( x ： )恒 成 立 的 条 件 序 号 是 ( 填 ： ) 说 明 此 题将 隐含 的 函数 的奇 偶性 、 单调 性 与不等式恒成立巧妙结合 ， 构思精巧 例 6 ( 2 0 0 8安 徽 文 2 0 )设 函 数 - 厂 ( )一 1 z 。 一 + ( 。+ 1 ) z+ 1 ， 其 中 n为 实数 J 厶 ( 1 )略 ；( 2 )已知不 等式 f ( ) 一 a + 1对任 意 ( O ， + o o ) 都 成立 ， 求实 数 的取 值范 围 解 ( 2 )由题 设 知 3 x+ ( n + 1 ) z 一 a + 1 对任 意 a ( 0 ， + o 0 ) 都 成立 ， 即 n ( z 。 +2 ) 一z 。 一2 z 0 对任意 a( 0 ， +C x D ) 都成立 ， 令 g ( 口 ) = = = a ( z +2 ) 一z 一 2 x， a ( O ， +。 。 ) ， 则 对任意 zR， g ( n ) 为( O ， +C 。 )内的单调递增函 数 因对 任意 a ( O ， +o o ) ， g ( 口 ) 0恒成 立 的 充分必要条件是 g( O ) 0 ， 即 一z 。 一2 x 0 ， 所 以 ， 的取值 范 围是 一 2 - z 0 ) 说 明 巧妙 实现参 数转 换 ， 将 原不 等式 恒成 立转化为一次函数问题后 ， 问题迎刃而解 总之 ， 不 等 式恒 成 立 问题 往 往 体现 多 种 数 学 思 想 的交 融 只要 我们 合理 地应用 这些 思想 方 法 ， 就不难确定解题方略 命 题 P 或 q， 阻 成 立 ” 等 价 于 命 题 “ P ，恒 成 立 或 q 恒 成 立 ” 吗 ? 徐珞( -； x苏省盐城 中学2 2 4 0 0 5 ) 等价转 化 思 想 是 解 决 数 学 问题 最 常 用 的重 要 的数学思 想 方法 ， 我们 常 常把 一 些 陌生 的问 题 等价转化为我们耳熟 能详 、 信手拈 来的问题 因 此， 能否准确地将所求的问题等价转化 ， 是在解题 时最 值得关 注 的 下 面将 探 讨 一类 笔 者 和 同学们 在具体的教学活 动中遇到的与“ 恒成立”有关 的 “ 等价 转化 ”问题 。 1 问题 的呈 现 例 l 已知 厂 ( z ) 一 z， g ( z )一 +0( n 0 ) ， 当 1 4 时 ， 不 等 式 f 互 i 1 J k 0 J 恒成 立 ， 求 n的取 值范 围 分析 这 是一 道颇 具综 合性 的不 等式 问题 ， 解决的关键在于如何使用条件“ 当 1 z 4时 ， 不 等 式 f 兰 f 1 恒 成 立 ” ( * ) ， 即 如 何将条件( *)转化成易被我们使用的形式 很多 同学的解题过程如下 ： 3 8 中学数学月刊 2 0 1 0年第 7期 l I 甘 f 1 甘 二 1 ， 上 q工 进一步等价转化为“ a f + 1 2 恒成立 、 ， z ， 或一口 f + 1 0 恒成 立” 由于口 0 ， 第二种情况一 f + 1 0 是 不可能的， 因 此只有“ n f + 1 2 恒成 立 ， ， 记 ) ( + 老) ， ( 1 ) 当 0 a 2 ， 解得 a 1 ( 舍 ) ； ( 2 )当 n 4时， ( z ) 在 1 ， 4 上单调递减 ， ( z ) 一 ( 4 ) 一n f +号1 2 ， 解得n 4 ； ( 3 ) 当 1 4时， ( ) 2 a , 2 2 ， 解得 1 2 一4 ， 对 z 0 ， 2 恒成立 ， 求 a的取值范围 若 按上述 认 同的那种 理解 ， 则有 解 法 1 原不 等式 转化 为 3 xa 2 x 一4 恒 成立或 3 xa 4 2 恒成 立 ， 即 a 5 x 4恒成立 因为 z E o ， 2 ， 所以 a( 5 x一 4 ) = = =6 ， 故 a的取值 范 围是 ( 一 。 。， 4 )U ( 6 ， + 。 。 ) 由于本题涉及绝对值问题 ， 较为常规 的另一 种想法是对不等式的右边分正负加 以讨论 ， 于是 有解 法 2 解法 2 因 z E o ， 2 ， 所 以 2 一 4 0 当 2 z 一 4 2 z一4 ， 对 E o ， 2 恒成 立”理解为“ n 5 一4 对 E o ， 2 恒成立” 其实这种理解是 错误的 从逻辑 的角度来考虑 ， 这是一个“ 或”命 题 ， 而对“ 或”命题 而言 ， 一 真 则必 真 ， 因此这 里正 确 的理解 应该 为“ a 5 x一4 ”中至 少有一个对任意 z E o ， 2 成立 本题巧合的是 不等 式右边 2 z一 4 0 ， 左边 是恒 为 非 负 的绝对 值 ， 故只需考虑右边为 0时不等式恒成立的条件 就 可 以了 ， 这 就 是解 法 2的本 质 当然 ， 除 了上 述 的直 接解 法 以外 ， 还可 以从 以下两 个角度 考虑 ： ( 1 ) 正难 则反 ， 从反 面考 虑 ： 本题 条 件 的否定 是“ 存在 z O ， 2 ， 使得 I 3 xa l 2 一4 不成 立 ， 即 l 3 xa 2 z一4 ” ， 具体解题过程略 ； ( 2 )以形助数 ， 将代数推理化虚为实： 作 出函 数 Yl 3 xa l ， Y一 2 x 一4的图象 ， 通过图象直 观地处理 ， 具体解题过程略 综合 以上分析 ， 对于由例 1 、 例 2抽象出来的 共性问题“ 命题 P或 q恒成立 等价于什么? ”便 有 了肯定 的 回答 ， 那就 是它 并不 等 价于命 题 “ P恒 成 立或 q恒 成立 ” ， 而 是“ P或 q至少有一 个成 立” 现 在再来 看例 l ， 条件 ( *)正确 的转化 是“ 对 于 E l , 4 ，n ( + 丢 ) 2或 一nf z + 1 0 至少有一个成立” ， 由于口 4x ， 0 ， 第 二种 情况一口 f + 1 0 不可 能， 故 只 有 Z “af + 2 恒成立” 了 z 通过上述分析， 不难发现 ： 对例 1 条件 的这两 种不 同理解