第2章模糊数学基础

1、第 2 章,模糊数学基础,模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。,“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。,模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。,2.2.1 经典集合的定义及表示方法,1. 经典集合的概念,任给

2、一个性质P，把满足性质P的对象，也仅有具有性质P的对象，汇集起来构成一个集合,论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（全域、全集、空间）。英文大写字母U或E表示。,元素：论域中的每个对象。英文小写字母a、b、c、x、y、z表示。,集合：给定论域中具有某种属性的、确定的、彼此可以区别的事物全体。英文大写字母A、B、C、X、Y、Z表示。,论域、元素与集合之间的关系：论域是元素的全体，集合是论域中部分元素的全体。元素与集合是属于“”或者是不属于“”的关系。,2. 经典集合的表示方法,（1）列举法将集合中的元素一一列出，适用表示元素的有限集合。,（2）定义法通过描述集合中元素的共性定义集合，适用表示

3、元素的有限集合，也适用于不能一一列举元素的集合。,（2）特征函数法利用非此即彼的明晰性表示集合。,3. 几种特殊的集合,（1）全集E包含论域中的全部元素的集合。,（2）空集不包含任何元素的集合。,（3）子集集合A中的全部元素同时也都是集合B中的元素，则A是B的一个子集：AB。 AB且BA，则称A与B相等，A=B。,（4）幂集P(A)由集合A的所有子集构成的集合。,4. 经典集合的基本运算,（1）并运算,（2）交运算,（3）补运算,（4）差运算,5. 经典集合运算的基本性质,2.2.2 关系与映射,1. 经典关系,（1）集合的直积笛卡尔积,由r个集合A1，A2，Ar，其元素的R元组合a1，a2，

4、 ， ar，称为A1，A2，Ar上的直积（笛卡尔积）。,由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y）的集合称为集合X和Y的直积。,（2）二元关系,定义2-1,设X和Y是两个非空集合，集合X和Y的直积XY的一个子集R称为X到Y的一个二元关系（关系）。,XY的序偶（x，y），若有（x，y）R，记作xRy； 若有（x，y）R，记作x y；,若X=Y，直积XY的子集R称为X上的二元关系。,（3）关系矩阵,二元关系R可用二维关系矩阵表示,设,R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素rij定义为,2. 等价关系,若X上的一个关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称其为等价关系。

5、,（1）自反关系,关系矩阵中的主对角元素均为1,（2）对称关系,关系矩阵中rij=rji,（3）传递关系,关系矩阵中,同时具有自反、对称、传递性的关系,3. 映射关系,概念,设X和Y为两个不同的集合，对于xX，都存在唯一确定的y Y，则称关系R为从X到Y的一个映射,对于xX，均有对应的y Y；,是两个集合X和Y的关系；,对于每一个xX，都存在唯一确定的y Y与之对应。,表示,对于元素,f,对于集合,f,隶属度,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,2.3.1 模糊集合的定义及表示方法,1. 模糊集合的定义,定义22 模糊集合,论域U上的模糊集合F是指，对于论域U中的任意元

6、素uU，都指定了0，1闭区间中的某个数F(u) 0，1与之对应，称为u对F的隶属度，通常表示为,定义一个映射F：,该映射称为模糊集合F的隶属度函数。,F,上述定义表明：,（1）论域U上的模糊集合F由隶属度函数F(u) 来表征；,（2）F(u) 取值范围为闭区间0，1 ；,（3）F(u) 的大小反映了u对于模糊集合F的从属程度。,F(u) 的值接近1，表示u从属于模糊集合F的程度很高，,F(u) 的值接近0，表示u从属于模糊集合F的程度很低。,模糊集合F完全由隶属度函数所描述。,以“年轻、中年、年老”为例说明模糊集合和隶属度函数的概念。,年轻A，中年B，年老C,他们的论域U都是1,100,规定隶

7、属度函数为A(u)、 B(u)、 C(u),定义23 支集,模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足F(u)0的所有的u组成的。,定义24 模糊单点,如果模糊集合F的支集在论域U上只包含一个点u0，且F(u0)1，则F就称为模糊单点。,2. 模糊集合的表示方式,（1）当论域U为离散有限集u1，u2，un时，,1）扎德表示法,例21,用扎德法在论域U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。,解,用支集在论域U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念？,2）序偶表示法,将论域U中的元素ui与其隶属度F(ui)构成序偶来表示F，则：,

8、例22,用序偶法在论域U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。,解,3）向量表示法,将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：,注意！,式中向量的顺序不能颠倒，隶属度为0的项也不能省略。,例23,用向量法在论域U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。,将三种方法综合,（2）当论域U为离散无限域时,1）可数情况：扎德表示法,其中U=u1，u2，un，,F(ui)F(ui),2）不可数情况：扎德表示法,（3）当论域U为连续域时，扎德表示法,例24,以年龄为论域，设U0,200，扎德给出了“年老”O与“年轻”Y两个模糊集合的隶属度

9、函数,解,采用扎德表示法,2.3.2 模糊集合的运算及性质,1. 模糊集合运算,(1)模糊集合的相等,两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u) B(u) ，则称模糊集合A与模糊集合B相等。,(2)模糊集合的包含,两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u)B(u) ，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或A是B的子集。,(3) 模糊空集,对所有的元素uU，均有A(u) 0 ，则称模糊集合A为模糊空集。,(4) 模糊全集,对所有的元素uU，均有A(u)1 ，则称模糊集合A为模糊全集。,(5)模糊集合的补集,两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有B(u)=1A(u) ，则称B为A的

10、补集。,(6) 模糊集合的并集,三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u) A(u) B(u) maxA(u), B(u) ，则称C为A与B的并集。C=AB,(7) 模糊集合的交集,三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u) A(u) B(u) minA(u), B(u) ，则称C为A与B的交集。C=AB,当论域U是连续有限域时，模糊集合A和B的交、并、补集可以直接写成：,例25,设论域U爷、奶、爸、妈，有模糊集合,A=“男人”1/爷0/奶1/爸0/妈,B=“年轻”0.1/爷0.2/奶0.9/爸1/妈,求：AB“年轻的男人”,AB“或者年轻或者是男人”,AC“不是男人”

11、,解,AB“年轻的男人”= 0.1/爷0/奶0.9/爸0/妈,AB“或者年轻或者是男人”= 1/爷0.2/奶1/爸1/妈,AC“不是男人”=“女人”0/爷1/奶0/爸1/妈,例26设论域U=a, b, c, d, e上有两个模糊集分别为：,求：,2. 模糊集合中的代数运算,设论域U上两个模糊集合A和B，可以由模糊隶属度函数进行定义：,(1) 代数积,AB AB(u)A(u)B(u),(2)代数和,A+B A+B(u)A(u)B(u)A(u)B(u),(3)有界和,AB AB (u)A(u)B(u) 1,(4) 有界差,(5)有界积,AB AB (u)A(u)B(u)10,3. 模糊集合运算的基

12、本性质,2.3.3 隶属度函数,1. 隶属函数,经典集合的特征函数只能取0和1两种值，与二值逻辑相对应。 模糊集合的特征函数取值范围从0，1集合扩大到0，1区间 ，与连续逻辑相对应。,2. 确定隶属函数的原则,表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合,从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值必须是单调递减的,而不允许有波浪形。,变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的,隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠,附近隶属函数的范围,重叠范围,L,U,A1,A2,x,1.0,0,0,0.5,1.0,32,很高,适中,高,交叉越界的隶属函数示意图,重叠指数的定义,速度/km.h-1,论域中

13、的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域。,对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。,当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于1。,重叠率重叠范围/附近模糊隶属函数的范围,重叠鲁棒性总的重叠面积/总的重叠最大面积,通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后通过“学习”和不断的实践来修整、完善。,3. 确定隶属函数的方法,隶属函数是模糊集合论的基础,如何确定隶属函数是一个关键问题。由于模糊理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的.,(1)主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认识

14、，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种方法比较简单，人们利用专家或者熟练技工的经验来建立隶属函数。例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函数 。,(2)模糊统计法 根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。,对模糊集A的隶属度 =,其基本思想是：论域U上的一个确定的元素u0是否属于一个可变动的清晰集合A，作出清晰的判断。,随着N的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是u0对A的隶属度。,通常，和都服从正态分布,(3) 三分法 建立“矮个子”，“中等个子”和“高个子”三个模糊集的隶属函数。取论域U =（0，3）（单位：米

15、），每一个模糊试验确定论域的一次划分，每次划分确定一对数(，)，是矮个子与中等个子的分界点，是中等个子与高个子的分界点。,4. 模糊控制中典型的隶属函数,(1)高斯型隶属函数 由参数和c确定,其中参数通常为正，参数c用于确定曲线的中心。,(2) 广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：,其中参数b通常为正， 参数c用于确定曲线的中心。,Matlab表示为,(3) S形隶属函数 S形函数sigmf(x,a c)由参数a和c决定：,其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。,Matlab表示为,（4）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个

16、 参数a，b，c，d确定。,其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。,Matlab表示为,(5)三角形隶属函数 三角形曲线的形状 由三个参数a，b，c 确定：,其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。,Matlab表示为,（6）Z形隶属函数 这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。,Matlab表示为,普通关系表示事物（元素）间是否存在关联。,模糊关系则描述事物（元素）间对于某一模糊概念上的关联程度。,1. 模糊关系的定义,定义25 集合的直积,由两个集合U与V的各自元素uU及vV构成的序偶（u，v）的集合，称为U

17、与V的直积。(笛卡尔积),注意！,定义26 模糊关系,由两个非空集合U与V之间的直积UV=(u,v)|uU, vV中的模糊集合R被称为U到V的模糊关系，又称为二元关系。其特性可由隶属度函数来描述。,隶属度函数R(u,v)表示序偶(u,v) 的隶属程度，也描述了(u,v)间具有关系R的量级。,在论域U=V时，称R为U上的模糊关系。,当论域为n个集合Ui(i=1,2,n)的直积U1U2 Un时，它们所对应的模糊关系R被称为n元模糊关系。,例27医学上用体重(kg)身高(cm)100表示人的标准体重，这是身高U与体重V的二元关系。,设：U=140,150,160,170,180,V=40,50,60

18、,70,80,R表示身高和体重接近标准关系的程度，这是从U到V的一个模糊关系。,（1）当XY为连续有限域时，二元模糊关系R的模糊集合表示方法为,n元模糊关系R的模糊集合表示方法为,在u140,160、v40,50时，用模糊集合表示为,2. 模糊关系表示方法,（2）模糊矩阵表示法,当 是有限集合时，XY的模糊关系R可用mn阶矩阵表示。,在u140,180、v40,80时，用模糊矩阵表示为,（3）模糊图表示法,例28 设模糊关系R用模糊矩阵表示为,模糊关系图,模糊流通图,例29设有一组同学X，X=张三，李四，王五，他们的功课为Y，Y=英语，数学，物理，化学。他们的考试成绩如下表：,取隶属函数 ，其

19、中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个XY上的一个模糊关系R。,写成矩阵形式：,考试成绩表的模糊化,用关系图来表示：,3. 模糊关系的合成,两种模糊关系可以组成一种合成关系。,定义27 模糊关系的合成,设有三个论域U、V、W，Q是U到V的一个模糊关系，R是V到W的一个模糊关系，Q对R的合成QR称为U到W的一个模糊关系，其算法为：,当论域U、V、W，为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。假设Q、R、S三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为：,用模糊矩阵的合成QRS表示模糊关系的合成QRS,例210设,则A和B的合成为：,其中, QRS表示模糊关系的合成，式中的“”表示最大最小运

20、算。,运算中，Q的列数与R的行数必须相同，否则，合成运算无意义。,不能用模糊矩阵表达的模糊关系也可以进行合成运算，并且遵照最大、最小原则。,设R、S为XY和YZ上的模糊关系，不能用矩阵表示时，其隶属度函数为R(x,y)及S(y,z)，则RS的隶属度函数为：,注意,定义28 设RUV，SVW，TWZ，则模糊矩阵合成具有下列性质：,结合律 R(ST) (RS)T,分配律 R(ST) (RS)(RT) (ST) R (S R)(T R) R(ST) (RS)(RT) (ST) R (S R)(T R),包含 若S T，则 RS RT,逆 (RS) T ST RT, REE RR, R00 R0,Rm

21、+1RmR，Rm RnRm+n，(Rm)n=Rmn，R0E,定义29 模糊向量的笛卡儿积,设已知两个模糊行向量Q和R，它们的笛卡尔积定义为,例211,两个模糊行向量Q=0.3 0.1 0.5和R=0.8 0.5 0.2 0.6，求它们的笛卡尔积,解,1. 模糊语言变量,带有模糊性的语言称为模糊语言，模糊性主要体现在语音、语义、语法等方面。,语言变量是由五元体(U，N，T(N)， G，M)定义的。,N语言变量的名称,U是N的论域,T(N)语言变量N的语言值X的集合,G语法规则,M语义规则,2. 语言值,语言系统中，与数值有直接联系的词，或者由它们再加上语言算子而派生出来的词组称为语言值。,以年龄

22、为语言变量的五元体结构图,3. 语法规则,语法规则G包括语言算子语言系统中的一类前缀词。,(1)语气算子H用于加强或减弱语气的词。用来加强语气的为“强化算子”，用来减弱语气的称为“淡化算子”。,HT(n)=T(n),为正实数， 1时，H为强化算子； 1时，H为淡化算子。,(2)模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化。,(3)判断化算子Pa 用来化模糊为趋向清晰，在模糊中给以粗糙的判断。一般表示形式为,PaT(n)=PaT(n),当na 当an1-a (0a0.5) 当n1-a,4. 模糊命题,模糊命题指含有模糊概念，具有某种真实程度的陈述句。表征模糊命题真实程度的量叫模

23、糊命题的真值。一般形式为,P：“x是A（ x is A ）”,其中x是对象名称，A是论域U上的一个模糊子集。,模糊命题的真值，由x对模糊集合A的隶属程度表示,(1)简单模糊条件语句,if A then B,A表示x是a，,B表示y是b ，,若x是a，则y是b，其中x、y均为语言变量，a、b分别为语言变量的值。,(2)多重简单模糊条件语句,if A then B elsc C,(3)双重模糊条件语句,if A and B then C,根据已知条件求未知结果的思维过程就是推理。解决模糊性问题就需要用模糊推理。,模糊推理是一种以模糊判断为前提，运用模糊语言规则，推出一个新的近似的模糊判断结论的方法

24、。,1. 基本概念,给定模糊关系“若A则B”, AX，BY，已知某一个A，AX，求从模糊关系能推断出什么样的结论B？,广义取式(肯定前提)推理,广义拒式(肯定结论)推理,给定模糊关系“若A则B”，AX，BY，已知某一个B，BY，求从模糊关系能推断出什么样的结论A？,2. 模糊推理规则,广义取式推理：,大前提：如果x为A，则y为B 小前提：x为A 结论： y为B,广义拒式推理：,前提： y为B 前提：如果x为A，则y为B 结论： x为A,B Ao R,A R o B,R如何得到,(1) Zadeh法,设模糊控制规则（模糊蕴含关系)“若A则B”用AB表示，且AX，BY，则AB是XY上的一个模糊关系

25、，即：,(AB)(x,y)R(x,y)XY,R(x,y)=(A(x)B(y)(1- A(x),1)模糊取式推理（Fuzzy Modus Ponens FMP）,已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵R，对于给定的A，AX，则可推得结论B，BY，,B Ao R,“o”表示合成运算,BsupA(AB)(A),2)模糊拒式推理（Fuzzy Modus Tollens, FMT）,已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵R，对于给定的B，BY，则可推得结论A，AX，,A R o B,AsupAB(A)B,(2) Mamdani法,模糊蕴含关系AB用A和B的直积表示,(AB)(x,y)R(x,y)XY,R(x,y)=A(

26、x)B(y),1)模糊取式推理（FMP）,已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵R，对于给定的A，AX，则可推得结论B，BY，,BsupA(A B),2)模糊拒取式推理（FMT）,已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵R，对于给定的B，BY，则可推得结论A，AX，,Asup(A B)B,3. 模糊条件推理,设A为论域X上的模糊集合，B和C分别为论域Y上的2个模糊集合，其对应的隶属函数为A(x)、 B(y)、 C(y)，,在XY上描述模糊条件语句“if x is A then y is B elsc y is C”的二元模糊关系R(AB)(AcC),用mamdani法定义其隶属函数为,可用模糊向量的笛卡尔积表示模糊关系R,R(AB)(AcC),根据已知的输入模糊集合A及R，可求得与A对应的B,BAR,4. 双输入模糊推理,设A、B分别为论域X、Y上的模糊集合，C为论域Z上的模糊集合，其对应的隶属函数为A(x)、 B(y)、 C(z)，,在XYZ上描述模糊条件语句“if x is A and y is B then z is C”的三元模糊关系R(AB)C，即RABC,用mamdani法定义其隶属函数为,可用模糊向量的笛卡儿积表示模糊关系R,R(AB)T1C,根据已知的输入模糊集合A和B及R，可求得与A、B对应的C,C(AB)T1R,例212,利用