Chapt5微扰理论(09级)..ppt

1、,Chapter 5 微 扰 理 论,Perturbation Theory,引言,前面讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定谔方程求得了一些简单问题的解。,在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛定方谔程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定谔方程近似解就显得尤为重要。,是从简单问题的精确解（解析解）出发，求较复杂问题的近似（解析）解。,讲授内容,5.1 非简并定态微扰理论 Non degenerate perturbation theory of stationery state 5.2 简并情况下的微扰理论 Degenera

2、te perturbation theory 5.3 氢原子的一级斯塔克效应 First order Stark effect of hydrogen atom 5.4 变分法 Variational Method 5.5 氦原子基态 Ground State to Helium Atom 5.6 与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time 5.7 跃迁几率 Transition Probability 5.8光的发射和吸收 Light emission and absorption 5.9选择定则 Selection rule,学习要求：,5. 了解氢原

3、子一级斯塔克效应及其解释。,3. 了解定态微扰论的适用范围和条件；,1.重点掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一、 二级修正的计算。,2.掌握简并的微扰论的零级波函数和一级能量修正的计算。,4. 关于与时间有关的微扰论要求如下：,5.1 非简并定态微扰理论,量子力学中微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态微扰和非定态微扰两大类。,一、基本方程,设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为,(1),当 比较复杂，方程(1)难求解时，将写成：,(3),其中是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以下方程求出,而 相对很小，可视为加在 上的微扰。现在的任务是通过 和，求出相应的

4、修正项以得到 和的近似解，为此，引入一个很小的实数 ，并将 表示为,(2),(4),相应地,将 和 表为实参数 的级数形式：,(5),5.1 非简并定态微扰理论（续1）,(6),将以上几式代入（1）式得：,将此式展开，便得到一个两边均为 的幂级数等式，此等式成立的条件是两边 同次幂的系数应相等，于是得到一列方程：,(7),5.1 非简并定态微扰理论（续2）,由这组方程逐级求得其各级修正项，即求得能量和波函数的近似解. 的引入只是为了从方程(7)按数量级分出(8)、(9) (11)等方程，达到此目的后，便可省去 。方程(5)和(6)便写成,5.1 非简并定态微扰理论（续3）,(14),二、一级修

5、正,当 非简并时， 属于 的本征函数只有一个，它就是波函数的零级近似。（设已归一化）。,5.1 非简并定态微扰理论（续4）,为求 ，以 左乘（9）式两边，并对空间积分：,（15）,代入（9）式得,5.1 非简并定态微扰理论（续5）,以 左乘，并积分，得到：,亦即,代入（16）式，得波函数的一级修正,（20）,5.1 非简并定态微扰理论（续6）,三、高级修正（能量的二级修正）,（19）,将 代入（10）式，得到：,以 左乘以上式，并积分，得到：,（21）,能量的二级近似,波函数的一级近似,5.1 非简并定态微扰理论（续7）,四、微扰理论适用的条件,不能判别级数是否收敛，因不知级数的一般项,故要求

6、后项远小于前项，即,微扰适用条件表明：,（1）微扰矩阵元 要小；,（2）要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级） 与量子数 成反比。可见，当 大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（ 大）的修正，而只适用于计算低能级（ 小）的修正。,5.1 非简并定态微扰理论（续8）,（2）展开系数 表明第 个未扰动态 对 第 个扰动态矢 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态 贡献的也越强。因此波函数一阶修正无须计算无限多项。,（3）由可知，扰动后体系能量是由扰动前第态能量加上微扰哈密顿量 在未微扰态中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级

7、上移或下移。,五讨论,（1）在一阶近似下：,5.1 非简并定态微扰理论（续9）,哈密顿量,本征函数,设一维谐振子受到 的微扰（为实参数，且 ),用微扰法求能量和波函数的一级修正。,5.1 非简并定态微扰理论（续10）,六实例,Solve:,由厄米多项式递推关系可导出波函数的递推关系，即,5.1 非简并定态微扰理论（续11）,微扰矩阵元：,能量一级修正,波函数的一级修正：,5.1 非简并定态微扰理论（续12）,讨论：实事上本题可精确求解,这是一个标准的一维线性谐振子的能量算符,本征函数,本征能量,有微扰时，能量的一级修正,无微扰谐振子能量,若 为度简并，则有个本征函数满足方程,且正交归一,根据迭

8、加原理，这个本征函数的任意线性组合仍是 属于 本征值的本征函数.因而,可由这 个本征函数线性组合构成零级近似波函数：,（）,5.2 简并情况下的微扰理论,将（）代入微扰理论的基本方程：,问题是零级近似波函数如何取？,左乘后，再积分,得到：,（3）,（）,（2）,5.2 简并情况下的微扰理论（续1）,方程组(3)有非零解的条件是系数行列式等于零,即,（）,由(2)式分别求出 ，代入久期方程（5）式，可求得 的根 ，此即为能量的一级修正。,5.2 简并情况下的微扰理论（续2）,能级分裂,(1). 若 的 个根 都不相等，则一级微扰将简并度完全消除；如果要求二级修正，再应用非简并微扰方法进行。,(2

9、). 若 的 个根部分相等，则简并度部分解除，这时须再次利用简并微扰法考虑能量二级修正才有可能进一步解除简并，依次进行下去，直到简并度完全消除。,().若 的 个根完全相等，则一级微扰不能消除简并，必须继续利用简并微扰法考虑高阶修正。,求零级近似波函数,讨论,将能量一级修正 的 个根分别代回方程（4）,5.2 简并情况下的微扰理论（续3）,(7),即,由此分别求得 组 的值，即可求得零级近似波函数,而这组 中，至少有一个要用归一化条件求得,(8),5.2 简并情况下的微扰理论（续4）,在没有外场作用的情况下，氢原子中的电子受原子核球对称库仑场的作用，其哈米顿算符、能级和本征函数为：,这里能级由

10、主量子数决定，与和无关，第个能级 是 度简并的。,1913年德国物理学家斯塔克发现，处于外电场中的原子，其光谱发生分裂。不难理解：谱线分裂是由于能级分裂引起，而能级的分裂是由于系统的某种对称性受到破坏的结果。,5.3 氢原子的一级斯塔克效应,设外电场 是均匀的，方向沿 轴。由于一般外场强度在 伏/米，而原子内的场强约为 伏/米，故外电场可视为微扰，则:,当 时， （波尔半径）,对应四个状态：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续1）,将零级近似波函数 作展开,（5.3-4）,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续2）,由 算得的不为零的矩阵元,其余矩阵元均为零。,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续3

11、）,将以上矩阵元代入代数方程组,并写成矩阵形式：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续4）,有久期方程:,（）,得到四个根：,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续5）,能级一级近似,能级分裂导致谱线分裂,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续6）,再将 的四个根分别代入上（）式：,（1）当 时，有：,则与能级 对应的零级近似波函数为,（2）当时 ，有,则与能级 对应的零级近似波函数为：,则与能级 对应的零级近似波函数为：,（3）当时 ，有,而 和 不同时为零,说明,1正交归一化条件,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续7）,5.3 氢原子的一级斯塔克效应（续8）,or,研究的问题：,在与时间有关的微扰作

12、用下，哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。故只能研究有微扰时量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射（能量变化）等。,定态微扰理论与时间无关，研究在有微扰作用下定态能量和波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。,5.6 与时间有关的微扰理论,含时微扰理论,设 时，体系处于定态，哈米顿算符为 ，定态波函数为 ，其中 为 的本征函数,（1）,在 时，体系受到与时间有关的微扰 ，使体系的哈米顿算符变为：,（2）,体系处的状态为：,（3）,5.6 与时间有关的微扰理论（续1）,当 时，系统可能处于各个定态 ，相应的概率为 ，即：,5.6 与时间有关

13、的微扰理论（续2）,由含时薛定格方程：,（4）,将 代入(4)式，得：,现在的工作是要求出跃迁到各末态上的跃迁概率。,5.6 与时间有关的微扰理论（续3）,以 左乘上式，对整个空间积分得：,（5）,5.6 与时间有关的微扰理论（续4）,（5）是一个联立方程组，一般不能严格求解。可仿定态微扰理论引入参变量求 ，但很烦。,若 时，体系处于 的第 个本征态 ，则由（3）式,（10）,故由 跃迁到 的概率为：,（11）,此为微扰一级近似下的跃迁概率公式。,5.6 与时间有关的微扰理论（续6）,（9）,若只考虑一级近似，则用 代替 ，(5)变为,二、周期微扰,微扰矩阵元：,（17）,（18）,由（10）

14、式：,（19）,5.7 跃迁概率,由于 ，而微扰角频率一般很大（如可见光 /秒），故 一般都很小。,当 时，上式中有一项与时间无关，而另一项则与时间成正比，略去与时间无关的项，只取起主要作用的与时间 有关项，则：,5.7 跃迁概率（续1）,即,（2）,5.7 跃迁概率（续2）,故由 态跃迁到 态的概率为：,由,（2）,（2）,单位时间内的跃迁概率：,5.7 跃迁概率（续3）,讨论,当 时，体系由 发射能量,当 时，体系由 吸收能量,（5.7-20）,两定态间相互跃迁的概率相等,（1）能量发射与吸收,5.7 跃迁概率（续4）,(2)能量测不准关系,（当 时）,根据 函数的性质，当 时， ，而 时

15、， 。,而实际测量中的结果并非如此。原因在于：定态能量有一定宽度 ，测量的时间不是无限长，而且微扰频率 也不一定单一。,5.7 跃迁概率（续5）,作出（20）式表示的跃迁概率的曲线图,5.7 跃迁概率（续6）,由图看出，跃迁概率主要分布在下述范围内:,故 的不确定范围：,而,如果把这个微扰过程看作是在 时间内测量能量 的过程，而能量的不确定范围是 ，则有能量时间的测不准关系：,5.7 跃迁概率（续7）,原子与辐射场相互作用的三个过程： 自发辐射 (spontaneous emission) 受激辐射 （stimulated emission) 受激吸收 （stimulated absorpti

16、on),一、爱因斯坦的发射和吸收系数,1三个系数的引入：,设原子体系能谱：,5.8 光的发射和吸收,2、爱因斯坦三个系数的物理意义,表示原子由 能态自发跃迁到 能态的概率,则单位时间内，原子由 ，发射光子 的受激跃迁概率为,单位时间内，原子由 ，吸收光子 的概率为,设光波在频率 范围内的能量密度是,若处于 和 能级的原子数目分别为 和 ，则其平衡条件；,3、爱因斯坦三个系数的关系,由麦克斯韦 玻尔兹曼分布,黑体辐射的普朗克公式：,于是,两者联系：,5.8 光的发射和吸收（续）,两边比较得：,（1）,可见Einstein的三个系数仅一个是独立的。,由（1）式知，只要能求出 ，即可求得和 。,二、

17、用微扰理论计算爱恩斯坦系数,5.8 光的发射和吸收（续3）,电场中电子的能量 磁场中电子的能量,光与原子的相互作用：光波中的电场 和磁场与原子中的电子都有作用,精细结构常数,故磁场对电子的作用相对很弱，近似计算可略去，只考虑电场。,平面单色光情况：,平面单色偏振光的电场强度可表示为,可以略去,5.8 光的发射和吸收（续）,光电场中电子的势能为,这里讨论的是原子内部问题，故Z的变化范围是原子线度 ，而可见光波长 :,由于这个能量比电子在原子中的势能小得多，故可视为微扰，用上节的微扰理论来处理。,5.8 光的发射和吸收（续）,单位时间内，原子由态 跃迁到态 的概率,为便于求系数，上式中的 可以用光

18、的能量密度 来表示：,(CGS),5.8 光的发射和吸收（续）,对于频率在一定范围内连续分布的偏振光，能量密度是按一定的频率间隔计算的，在 内的能量密度为 ，故在上式中用 代替 ，并对频率分布范围积分：,如果光不是沿方向偏振，而是各相同性的，且偏振是无规则的，则,自然光情况,5.8 光的发射和吸收（续）,而,并对频率分布范围积分,代入,5.8 光的发射和吸收（续8）,辐射强度,单位时间内一个原子自发跃迁 发射出的能量为,原子处在 态的平均寿命,5.8 光的发射和吸收（续9）,自发跃迁的平均寿命,设受激态 的原子数目为 ，则辐射频率为 光的强度,由上节，跃迁系数,跃迁能发生的条件是矩阵元 ，否则禁戒跃迁！,而,三个分量矩阵元不能同时为0，否则跃迁将不会发生！,5.9 选择定则,设初态