量子力学-波函数和薛定谔方程

1、量子力学Quantum Mechanics第二章,第二章波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程 2.6 一维无限深势阱 2.7 线性谐振子 2.8 势垒贯穿 2.9 例题,2.1 波函数的统计解释,一. 波函数 二. 波函数的统计解释 三. 波函数的性质 四. 多粒子体系的波函数,1. 经典粒子运动状态的描述,经典粒子的运动状态由坐标 r 和动量 p 来描述,2. 微观粒子的运动状态由波函数 (r,t) 来描述,基于下述考虑: 1.经典粒子的描述方法

2、反映不了波粒二象性 2.坐标 r 和动量 p 不能同时确定，不确定关系 3.自由粒子可以用德布罗意平面波描述,一. 波函数,3个问题？,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，其动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波来描述，而必须用较复杂的波来描述。使用一个函数表示描写粒子的波，这个函数称为波函数，记为：,de Broglie 平面波，自由粒子的波函数。, 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？,二. 波函数的统计解释,1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射

3、图样。,电子源,我们再看一下电子的衍射实验,1. 单电子衍射实验,图单电子衍射实验,单电子衍射实验结果分析：,实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示该处波强度|(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|(r)|2小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。,感光屏上点 r 附近衍射图样的强度 在点 r 附近感光点子

4、的数目 在点 r 附近出现的电子的数目 电子出现在点 r 附近的概率,（正比于）,波粒二象性的图象：,三. 波函数的性质,波函数统计解释或称 玻恩统计解释:,(1)波函数的物理意义,设波函数(x,y,z,t) 描写粒子的状态，在空间一点 (x,y,z) 和时刻 t，波的强度是|2 =*，*表示的共轭复数。 以dW(x,y,z,t) 表示时刻 t、在坐标 x 到 x+dx、y到y+dy、z到z+dz 的无限小区域内找到粒子的概率，则 dW 除了和这个区域的体积 d=dxdydz 成比例外，也和在这个区域内每一点找到粒子的概率成比例。,按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒子的概率与|(x,

5、y,z,t)|2 成比例，故有 dW(x, y, z, t) = C |(x, y, z, t)|2 d， 其中C是比例常数。,概率密度 w(x, y, z, t) 在时刻t、在 (x,y,z) 点附近，单位体积内找到粒子的概率，即概率密度 w(x, y, z, t) 为： w(x, y, z, t)=dW(x, y, z, t)/d = C |(x, y, z, t)|2,(2)归一化波函数 由于粒子存在于空间中，即在整个空间出现的总的概率为1，所以有 C | (x,y,z, t)|2 d= 1 可得,由于我们习惯于归一化的概率，所以要引入归一化的波函数。 令,归一化因子,(r,t) 和 (

6、r,t) 所描写状态的相对概率是相同的。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：,可见，(r,t) 和 (r,t) 描述的是同一概率波。,由于粒子在全空间出现的概率等于1，所以粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因此，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t) 和 (r,t) 描述同一状态,在时刻t、在 (x,y,z) 点附近体积元d内找到粒子的概率为 dW(x, y, z, t) = |(x, y, z, t)|2 d 概率密度为 w(x, y, z, t) = |(x, y, z,

7、 t)|2 并且有 | (x,y,z, t)|2 d= 1(归一化条件) 满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。 把 换成 的步骤称为归一化。 使 换成 的常数 称为归一化因子。 (x, y, z, t) = (x, y, z, t),(波函数平方可积),相因子不定； 对归一化波函数仍有一个模为1的相因子不定性。 若(r,t)是归一化波函数，那末，ei(r,t) 也是 归一化波函数（其中是实数）， 两者描述同一概率波。,特例: 自由粒子的波函数无法正常归一化,箱归一化方法,四. 多粒子体系的波函数,t 时刻，第 1 个粒子处于 r1 处 d1 内， 同时第 2 个粒子处于 r2 处 d2 内

8、， 同时第 N 个粒子处于 rN 处 dN 内的概率为：,玻恩统计解释：,归一化条件:,描述N个粒子组成的体系的运动状态,2.2 态叠加原理,（一）态叠加原理 （二）任意波函数可以看作平面波的叠加,（一）态叠加原理,物理意义: 处于 态的体系，部分的处于 1 态，部分的处于2 态，.，部分的处于n 态，. 或者说： 一定概率处于1 态，一定概率处于2 态，.，一定概率处于n 态，,任意一个波函数 都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加。即：任何波函数 都可以写成如下形式：,（二） 作为平面波的叠加,(2.2.6),(2.2.7),所以,对于 三维情况,蓝色部分 为平面波函数,推导可得，c(p,

9、t) 的表达式为,因此，(r,t)可表示为,p18,和 是同一个状态的两种不同的描述方式。 是以坐标为自变量的波函数，而则以动量为自变量的波函数，它们描写同一个状态。,一维 情况,(1) 坐标平均值 为简单计，先不考虑随时间 t 的变化。设(x) 是归一化波函数，|(x)|2 是粒子出现在 x 点的概率密度，则,对三维情况，设(r) 是归一化波函数，|(r)|2是粒子出现在 r 点的概率密度，则 r 的平均值为,一维情况：令(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为,(2) 动量平均值,2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程),（一）引言 （二）引进方程的基本考虑 （三）自由

10、粒子满足的方程 （四）势场 V (r) 中运动的粒子 （五）多粒子体系的Schrodinger方程,这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。,微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变应当由运动方程来描写。,（一）引言,（二）引进方程的基本考虑,利用牛顿方程，可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。,经典粒子运动方程，所给予我们的启示。,(1) 经典情况,(2) 量子情况,1. 在 t = t0 时刻，已知的初态是(r, t0) 且只知

11、道这样一个初始条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含 对时间的一阶导数。 2. 要满足态叠加原理，即，若1(r, t) 和2( r, t )是方程的解，那末(r, t)=c11(r, t ) + c22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 3. 方程不能包含状态参量，如 p, E 等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,（三）自由粒子满足的方程,（自由粒子波函数满足的微分方程）,容易验证： 不是薛定谔方程 的解。,（五）多粒子体系的薛

12、定谔方程,设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 mi (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN, t) 第i个粒子所受到的外场 Vi(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 则多粒子体系的能量为,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一. 概率守恒 二.波函数的标准条件,（一） 概率密度随时间的变化,在讨论了波函数随时间变化的规律，即运动方程后，我们将利用运动方程来进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概率将怎样随时间变化。 粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的概率（即概率密度）是 概率密度随时间的变化率为,(2.4.1),(

13、2.4.2),(2.4.7),如果波函数在无穷远处为零。当积分区域 V 扩展到整个空间，此时（2.4.7）式右边的面积分为零，故有,说明： (1) 在整个空间内找到粒子的概率与时间无关。 (2) 波函数归一化不随时间而改变。,（三）波函数的标准条件,2.5 定态薛定谔方程,（一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）定态 （四）薛定谔方程的一般解 （五）求解定态问题的步骤,（一）定态Schrodinger方程,(2) Hamilton 算符的本征值方程的解,（三）定态,1. 定态波函数,（1）粒子的能量有确定值 （2）粒子在空间概率密度与时间无关,2

14、. 定态的性质,(3) 概率流密度与时间无关,（四）Schrodinger方程的一般解,Schrodinger 方程：,此方程是一个线性方程，其一般解为：,2.6 一维无限深势阱,物理模型是: 一个粒子在不可透过的立方箱子中自由运动。这个三维运动可以通过分离变量法简化为三个一维的运动。,（一）定态薛定谔方程,1. 势能,在势阱内( )，定态薛定谔方程为:,显然E0，令,那么方程变成:,它的解是：,？计算 ？,(2) 描述的是束缚态 所谓束缚态是当 时， 所描写的状态。 即，粒子被束缚在有限的区域内运动。 如本例中，粒子运动被束缚在势阱内部。,(3) 与经典粒子的运动的比较,经典粒子在匣子中运动

15、： I. 能量可以取从零到很大的所有的值 (连续值) ； II. 粒子运动的速率不变，所以粒子在匣子内各 处出现的概率相等。 微观粒子在匣子中运动： I. 能量取分立值： II. 微观粒子在匣子内各处出现的概率密度为 。,方法小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看出， 解S-方程的一般步骤如下：,1. 列出各个势域上的S-方程； 2. 求解S-方程； 3. 利用波函数的标准条件(有限性、连续 性、单值性) 确定未知数和能量本征值； 4. 由归一化条件确定出归一化因子； 5. 相关的讨论。,2.7 线性谐振子,势能 定态薛定谔方程 三. 能级和波函数 四. 讨论,(坐标平移),能级和波函数 上面得

16、到了方程的通解，现考虑波函数标准条件：有限性、连续性、单值性。上面的级数显然满足连续性和单值性条件。下面考虑,振幅 A,2.8 势垒贯穿,一维无限深势阱、一维线性谐振子，体系的势能在无限远处都是无限大，波函数在无限远处为零，这一条件使得体系的能级是分立的，属于束缚态。 本节中，讨论体系势能在无限远处为有限（如取零）的情况，这时粒子可以在无限远处出现，波函数在无限远处不为零。没有无限远处波函数为零的约束，体系能量可以取任意值，而组成连续谱。它属于粒子被势场散射的问题，粒子由无限远处来，被势场散射后又到无限远处去。粒子的能量是预先确定的。,一、方形势垒 1. 方形势垒是：,这里所讨论势垒贯穿的问题

17、是一维散射问题。运动的粒子碰到势垒后，有一部分被反射回去，有一部分透射过去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。 粒子的波函数 所满足的S-方程为,利用在 x=0, a 边界处，波函数 及其导数 连续的边界条件，可得,由式 可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系数为：,贯穿势垒 U(x) 的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射系数之积，即,粒子在能量 E 小于势垒高度 U0 时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。,2.9 例题,例1设一维无限深方势阱宽度为 a，求处于基态的粒子的动量分布。,解： （1）画图、列S-方程,令，方程化为,注意： (a) A 或 n=0，得零解，无意义，不取。 (b) 由于 sin(kx) 是奇函数，n 等于负整数的解，与 n 等于正整数的解仅相差（-1）因子，为非独立解，故不取。,（4）列出结果 方程的解可表示为,(1) 欧拉公式 (2) 分部积分法,例3一维 势垒散射 设 x = a 处有一维势垒 能量为 E 的粒子从左方入射，求透射系数。,图2.13一维 势垒,2. 性质,例3一维 势垒散射 设 x = a 处有一维势垒 能量为 E 的粒子从左方入射，求透射系数。,图2.13一维 势垒,在 x = a，由波函数连续性，有 消去 R 可得透射系数为 容易证明：J(x) 在 x = a 处连续。,根据概率流密度公式 对一维