2019版高考数学 10.6 几 何 概 型课件.ppt

1、第六节 几 何 概 型,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣填一填 (1)几何概型的定义: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的特点: 无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_个; 等可能性:试验结果在每一个区域内_分布.,长度(面积或体积),无限多,均匀,(3)几何概型的概率公式: P(A)=_. 2.必用技法 核心总结看一看 (1)常用方法:随机模拟法. (2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考判一判 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.() (

2、2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.() (3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.() (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(),【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知,该说法正确. (2)错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一次的频率, 所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编 链接教材练一练 (1)(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水

3、平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是(),【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的 概率依次为,(2)(必修3P140例4改编)已知A=(x,y)|-1x1,0y2,B= (x,y)| y.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在 区域B中的概率为(),【解析】选A.集合A=(x,y)|-1x1,0y2表示的区域是一正 方形,其面积为4,集合B=(x,y)| y表示的区域为图中阴影 部分,其面积为4- 12. 所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为,3.真题小试 感悟考题试一试 (1)

4、(2013陕西高考)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(),【解析】选A.由题设可知,矩形ABCD的面积为2,曲边形DEBF的面积为 2- ,故所求概率为,(2)(2013四川高考)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(),【解析】选C.由于两串

5、彩灯第一次闪亮相互独立 且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的 基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的 是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部 分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差 不超过2秒的概率是 故选C.,(3)(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-10”的概率为. 【解析】设事件A:“3a-10”,则a 所以P(A)= 答案:,考点1 与长度、角度有关的几何概型 【典例1】(1)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为. (2)已知A是圆上

6、固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A,则AA的长度小于半径的概率为.,【解题提示】(1)可转化为两平行线间的距离求解. (2)可将AA的长度小于半径转化为与A,A两点有关的角度问题.,【规范解答】(1)设直线4x+3y=c到圆心的距离为3,则 =3,取c=15, 则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是 所求的概率,由于圆半径是2 ,则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所 对的圆心角为60,故所求的概率是 . 答案:,(2)如图,满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上,其中ABO和 ACO为等边三角形,可知BOC= ,故所求事件的概率P= 答案:,【一题多解】解答

7、本题还可以用如下方法: 如例题解析中图,满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上,其中 ABO和ACO为等边三角形,所以其概率P= 答案:,【互动探究】本例(1)条件变为:“已知圆O:x2+y2=12,设M为此圆周上 一定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN”,求弦MN的长超过2 的概率.,【解析】如图,在图上过圆心O作OM直径CD.则|MD|=|MC|=2 .当 N点不在半圆弧CMD上时,|MN|2 .所以P(|MN|2 )= .,【规律方法】 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为,2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动,扇形中

8、有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.,【变式训练】1.(2015淄博模拟)设P在0,5上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为(),2.如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1为半径作四 分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点 的概率为.,【解析】1.选C.方程有实根,则=p2-40,解得p2或p-2(舍去). 所以所求概率为,2.因为在DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“DAB内作射线 AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB,当射线

9、AP与线 段BC有公共点时,射线AP落在CAB内,区域h为CAB,所以射线AP与 线段BC有公共点的概率为 答案:,【加固训练】在RtABC中,BAC=90,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则AMB90的概率为.,【解析】如图,在RtABC中,作ADBC,D为垂足,由题意可得BD= , 且点M在BD上时,满足AMB90,故所求概率P= 答案:,考点2 与面积、体积有关的几何概型 【典例2】(1)在RtABC中,A为直角,且AB=3,BC=5,若在ABC内任取一点,则该点到三个顶点A,B,C的距离均不小于1的概率是(),(2)(2015烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1

10、D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为(),【解题提示】(1)应先考虑到三个顶点距离有一个小于1的点围成的图形的面积等于多少?(2)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球的外部.,【规范解答】 (1)选D.如图所示,在RtABC中,AC= =4.故RtABC的面积为 ABAC= 34=6.在RtABC内任取一点,该点到三个 顶点的距离均不小于1,则该点应在图中的阴影部分内,阴影部分的面 积为6- 12=6- ,由几何概型的概率计算公式可知,该点到三个 顶点的距离均不小于1的概率为,(2)选B.点P

11、到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球 的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则,【规律方法】解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元素,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.,【变式训练】1.(2015兰州模拟)如图,矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)=2x2-2x与直线y=2x围成的,现向矩形ABCD内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为.,【解析】因为f(x)=2x2-2x与y=2x的交点为(0,0)和(2,4). 曲线f(x)=2x2-2x与x轴的交点为(

12、0,0),(1,0), 其顶点为 所以矩形ABCD的面积为(4+ )2=9,阴影部分面积为 所以该点落在阴影部分的概率为 答案:,2.(2015哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P, 则三棱锥S-APC的体积大于 的概率是.,【解析】如图,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PMAC 于M,BNAC于N,则PM,BN分别为APC与ABC的高,所以 又 所以 时,满足条件.设 则P在BD 上,所求的概率P= 答案:,【加固训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机 取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于 的概率为.,【解析】过M

13、作平面RS平面AC,则两平面间的距离是四棱锥M-ABCD 的高,显然M在平面RS上任意位置时,四棱锥M-ABCD的体积都相等.若 此时四棱锥M-ABCD的体积等于 ,只要M在截面以下即可小于 ,当 VM-ABCD= 时,即 11h= ,解得h= ,即点M到底面ABCD的距离, 所以所求概率P= 答案:,考点3 几何概型与其他知识的交汇问题 知考情 几何概型是近几年高考的热点之一.常见的命题角度有:与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题;与随机模拟有关的概率问题;与线性规划知识交汇命题的问题;与定积分交汇命题的问题.,明角度 命题角度1:几何概型与定积分交汇问题 【典例3】(2014辽宁高考

14、)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1), C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质 点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .,【解题提示】可依据定积分的几何意义,求出阴影部分的面积,再利用几何概型概率公式求解.,【规范解答】阴影部分面积S阴等于正方形面积S减去其内部的非阴影 部分的面积S1,由对称性可知, 根据几何概型知,质点落在图中阴影区域的概率是P= 答案:,命题角度2:几何概型与不等式(组)交汇问题 【典例4】(2014湖北高考)由不等式组 确定的平面区 域记为1,不等式组 确定的平面区域记为2,在1中随 机取

15、一点,则该点恰好在2内的概率为(),【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域,然后利用面积型的几何概型概率公式求解.,【规范解答】选D.依题意,不等式组表示的平面区域如图, 由几何概型概率公式知,该点落在2内的概率为P=,悟技法 两种常见几何概型的解决方法 (1)线型几何概型: 当基本事件只受一个连续的变量控制时.一般是把这个变量看成一条线段或角,这样基本事件就构成了,即可借助于线段(或角度)的度量比来求解.,(2)面型几何概型: 当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,通一

16、类 1.(2015成都模拟)如图所示,半径为3的圆中有一封闭曲线围成的 阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是 ,则 阴影部分的面积是() A. B. C.2 D.3,【解析】选D.设阴影部分的面积为S1,圆的面积S=32=9,由几何概 型的概率计算公式得 得S1=3.,2.(2015玉溪模拟)若任取x,y0,1,则点P(x,y)满足y 的概 率为(),【解析】选A.由题意可得,x,y0,1,所对应区域为边长为1的正方 形,面积为1.记“点P(x,y)满足y 为事件A,则A包含的区域由 确定的区域的面积为 所以P(A)= .,3.(2015威海模拟)若不等式组 表示的平面区域为M, (x-4)2+y21表示的平面区域为N,现随机向区域内抛一粒豆子,则该 豆子落在平面区域N内的概率是.,【解析】 如图所示: 答案:,自我纠错28 求几何概型的概率 【典例】在等腰直角ABC中,过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D,求ADAC的概率.,【解题过程】,【错解分析】分析以上解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:解题过程中出现错误的原因是不能准确找出事件的几何度量,选错几