01答案04春季班01答案05_W

1、一. 典型例题 x2y21. 已知 F1， F2 是双曲线 E : a2 - b2 = 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF1 与 x 轴垂直， sin MF F = 1 ，则 E 的离心率为()课程与纸质资料 qq2272845198 微信 koi2020wind A. 22 133B. B 2D2C 3【考点】双曲线的性质 【分析】由条件 MF MF ， sin MF F = 1 ，列出关系式，从而可求离心率 122 13 【解答】解：由题意， M 为双曲线左支上的点， 4c + ()2 b22a 则| MF |= b2 ，| MF |=， 1a2b24c +2b4a22 1sin

2、 MF F = 1 ，a= 1 ， 332可得： 2b4 = a2 c2 ，即 2b2 = ac ，又c2 = a2 + b2 ， 可 得 2e2 -e -= 0 ， 2e 1，解得 e = 故选： A y2 =x2y21(a0,b0)2. 已知抛物线4x 的焦点为 F ，准线为l 若l 与双曲线 -=的两条 a2b2渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB |= 4 | OF | (O 为原点），则双曲线的离心率为()2B 3A.C2D 5【考点】圆锥曲线的综合 【分析】推导出 F (1,0) ，准线l 的方程为 x = -1 ， | AB |= 2b ，| OF |= 1 ，从而b =

3、 2a ，进而 aa2 + b2c = 5a ，由此能求出双曲线的离心率 【解答】解：Q抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F ，准线为l 2 F (1, 0) ，准线l 的方程为 x = -1 ， x2 yQl 与双曲线 -= 1(a 0,b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB |=4 | OF | (O为原点）， a2b2| AB |= 2b ， | OF |= 1， 2b = 4 ，b = 2a ， aaa2 + b2c = 5a ， 双曲线的离心率为e = c =a5 故选： D -=x2y20,b0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲 3. 已

4、知双曲线 a2b21(a线交于 A ， B 两点 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1 + d2 = 6 ，则双曲线的方程为()x2y2A. 1 -=412【考点】双曲线的性质 22xyB. 1 -=12422xyC. 1 -=3922xyD. 1 -=93【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可 【解答】解：由题意可得图象如图， CD 是双曲线的一条渐近线 y = b x ，即bx - ay = 0 ， F (c, 0) ， aAC CD ， BD CD ， FE CD ， ACDB 是梯形， F 是 AB 的中点， EF = d1 +

5、 d2 = 3 ， 2a2 + b2EF =bc= b ， x2 y2c所以b = ，双曲线 -= 1(a 0,b 0) 的离心率为 2，可得 = 2 ， 322abaa2 + b2可得：= 4 ，解得 a =a23 -1=x2y2则双曲线的方程为： 39故选： C x2 + y2 = 24 设椭圆 ab21(ab0) 的左焦点为 F ， 左顶点为 A ， 上顶点为 B 已知 3| OA |= 2 | OB | (O 为原点） （）求椭圆的离心率； （）设经过点 F3l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆C 同时与 x 轴和直 且斜率为 的直线4线l 相切，圆心C 在直线 x = 4 上，

6、且OC / / AP 求椭圆的方程 【考点】椭圆的性质 【分析】（）由题意可得 3a = 2b ，再由离心率公式可得所求值； （）求得 =， =x，可得椭圆方程为 2+ y2 = 1 ，设直线的方程为 y = 3+a2c b3c4c23c2FP4 (xc) ， 联立椭圆方程求得 P 的坐标，以及直线 AP 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c = 2 ，即可得到所求椭圆方程 【解答】解：（） 3 | OA |= 2 | OB | ，即为 3a = 2b ， 可得 e = c =a3（） b = 1 ； 1- b2a21- 342a ， c = 1 a ， 22即 a

7、= 2c ， b = 3c ， 2x2+ y =可得椭圆方程为 4c21 ，3c2 设直线 FP 的方程为 y = 3 (x + c) ， 4代入椭圆方程可得7x2 + 6cx -13c2 = 0 ， 解得 x = c 或 x = - 13c ， 7代入直线 PF 方程可得 y = 3c 或 y = - 9c （舍去）， 214可得 P(c, 3c ) ， 2圆心C 在直线 x = 4 上，且OC / / AP ，可设C(4,t) ， 3c可得 t =4 2，解得t = 2 ， c + 2c即有C(4, 2) ，可得圆的半径为 2， 由直线 FP 和圆C 相切的条件为 d = r ， | 3

8、4 - 4 2 + 3c |9 + 16可得= 2 ，解得c = 2 ， 3可得 a = 4 ， b = 2， x2 + y2= 1 可得椭圆方程为 16125. 已知曲线C : y = x2 ， D 为直线 y = - 1上的动点，过 D 作C 的两条切线，切点分别为 A ， 22B （1） 证明：直线 AB 过定点 5（2）若以 E(0, )2为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程 【考点】抛物线的性质 【分析】（1）设 D(t, - 1 ) ， A(x ， y ) ，则 x 2 = 2 y ，利用导数求斜率及两点求斜率可得 211112tx1 - 2 y1

9、 + 1 = 0 ， 设 B(x2 ， y2 ) ， 同理可得 2tx2 - 2 y2 + 1 = 0 ， 得到直线 AB 的方程为 2tx - 2 y + 1 = 0 ，再由直线系方程求直线 AB 过的定点； （2） 由（1）得直线 AB 的方程 y = tx + 1 ，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系 2数的关系求得线段 AB 的中点 M (t, t 2 + 1 )uuuuruuur，可得关于t 的方程，求得t = 0 或 uuuur ，再由 EMAB2t = 1 然后分类求得| EM |= 2 及所求圆的方程 【解答】（1）证明：设 D(t, - 1 ) ，A(x ，y ) ，

10、则 x 2 = 2 y ， 21111y + 1由于 y = x ，切线 DA 的斜率为 x ，故 12 = x ， 11整理得： 2tx1 - 2 y1 + 1 = 0 x1 - t设 B(x2 ， y2 ) ，同理可得 2tx2 - 2 y2 + 1 = 0 故直线 AB 的方程为 2tx - 2 y + 1 = 0 (0, )直线 AB 过定点 1 ； 2（2）解：由（1）得直线 AB 的方程 y = tx + 1 2 y = tx + 1由x22 ，可得 x2 - 2tx - 1 = 0 y = 2于是 x + x = 2t, y + y = t(x + x ) + 1 = 2t2 +

11、 1 121212设 M 为线段 AB 的中点，则 M (t, t 2 + 1 ) ， 2uuuuruuuruuuuruuur由于 EM AB ，而 EM = (t,t 2 - 2) ， AB 与向量(1, t) 平行， t + (t2 - 2)t = 0 ，解得t = 0 或t = 1 uuuur = 2 ，所求圆的方程为 x2 + ( y - 5 )2 = 4 ； 当t = 0 时， | EM | uuuur22，所求圆的方程为 x2 + ( y - 5 )2 = 2 当t = 1 时， | EM |=6. 已知抛物线C : y2 = 3x 的焦点为 F23l 与C 的交点为 A ， B

12、，与 x 轴的 ，斜率为 的直线2交点为 P 若| AF | + | BF |= 4 ，求l 的方程.【考点】抛物线的性质 【分析】很具韦达定理以及抛物线的定义可得 3【 解 答 】 解 ： 设 直 线 l 的 方 程 为 y = (x - t) ， 将 其 代 入 抛 物 线 y2 = 3x 得 ： 29 x2 - 99 2(t + 3)x +t = 0 ， 424设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ， 9 t + 34则 x + x = 2= 2t + ， x x = t2 ， 12931 2412由抛物线的定义可得：| AF | + | BF |= x + x + p

13、 = 2t + 4 + 3 = 4 ，解得t = 7 ， 3212直线l 的方程为 y = 3 x - 7 28 6x2y227. 已知椭圆 M :a2 + b2 = 1(a b0) 的离心率为，焦距为 23斜率为 k 的直线l 与椭 圆 M 有两个不同的交点 A ， B （）求椭圆 M 的方程； （）若 k = 1 ，求| AB | 的最大值； ， （）设 P(-2, 0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D 若C ， D 和点Q(- 71 ) 共线，求 k 44【考点】椭圆的标准方程；椭圆的性质；直线与椭圆的综合 【分析】（）根据椭圆的

14、离心率公式即可求得 a 的值，即可求得b 的值，求得椭圆方程； （）当 k = 1 时，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得| AB | 的最大值； （）求得直线 PA 的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C 点坐标，同理求 uuuruuur得 D 点坐标，即可求得QC 与QD ，根据向量的共线定理，即可求得直线 AB 的斜率 【解答】解：（）由题意可知：2c = 2b2 = a2 - c2 = 1 ， ，则 c =，椭圆的离心率 e = c =22a，则 a =633 ， + 2x2椭圆的标准方程： 3y = 1 ； （）设直线 AB 的方程为： y = x +

15、 m ， A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ， y = x + m联立 x2 + y2 = 1 ，整理得： 4x2 + 6mx + 3m2 - 3 = 0 ， = (6m)2 - 4 4 3(m2 -1) 0 ，整理 3得： m2 0 的直线 L 过定点 M (2, 0) ，与圆 E : (x - 4)2 + y2 = 12 相交于 A ， B 两点，与 抛物线 y2 = 4x 相交于C ， D 两点，且满足| AB |= 6 （1） 求直线 L 的方程； （2） 求直线 L 与抛物线相交所截得的弦长| CD | 【考点】直线与抛物线的综合 【分析】（1）由题意得到圆的半径，

16、进而设出直线的点斜式方程，由点到直线的距离公式求 得 k ； （2）设出 AB 两点的坐标，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理求得 x1 + x2 ， x1 x2 ，进而利用弦长与根的关系求解 3【解答】解：（1）Q| AB |= 6 ，半径 r = 2， 点 E 到直线 L 的距离为 3 ， k 2 + 1设直线 L : y = k (x - 2) 即 kx - y - 2k = 0 ， 由 3 =2k，解得 k = 3 ， 故直线 L 的方程： y = 3(x - 2) ， （2）设点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 联立方程组 y = 3(x - 2) 3x2 -16

17、x + 12 = 0 y2 = 4x x + x = 16 ， x x = 4 ， 123 (1+ k2 )| CD |=1 21 + k 2 (x + x )2 - 4x x121 2| x - x |=12= 1 + ( 3)2(16 )2 - 4 43= 8 7 3x2y2 =29. 已知椭圆C : 1(a 0,b 0) ，且离心率e = ，过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直 a2 + b22的弦长为 2 （）求椭圆C 的方程； （）若斜率为 2 的直线与椭圆C 交于 A ， B 两点，且| AB |= 2 ，求该直线的方程 【考点】直线与椭圆的综合 【分析】（）由已知列关于 a ， b ，

18、c 的方程组，求解可得 a ， b 的值，则椭圆方程可求； （）设直线l 的方程为 y = x + m ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程， 利用弦长公式列式求得 m 值得答案 【解答】解：（）设椭圆焦点为(c, 0) ， Q过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为 2， a c =2由题意可得： 2b222，解得： a = ， b =， c =； 2 2 a=2a2 = b2 + c2x2y21故椭圆C 方程为：+= ； 42（）设直线l 的方程为 y = 2x + m ， y = 2x + m联立 x2y2，得9x 2 + 8mx + 2m2 - 4 = 0 + = 421

19、22 = 64m2 - 72m2 + 144 0 ，得-3 m 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F1， F2 分别是椭圆 a21(ab0) 的左、右焦 b2点，顶点 B 的坐标为(0,b) ，连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结 F1C 172（1） 若CA = 2 ， CO =，且 BF2 = 3，求椭圆的方程； （2） 若椭圆的离心率为 5 ，证明： FC AB 51【考点】直线与椭圆的综合 【分析】（1）根据题意求得 a ，求得C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得b ，求得椭圆方程； （2）根据椭圆的离心率，求得 a ， b

20、 与 c 的关系，求得直线 AB 的方程，代入椭圆方程，求得 A 和C 点坐标，利用向量的数量积或者直线的斜率之积为-1 ，即可求证 F1C AB 2【解答】解：（1）由题意可知： a =| BF2 |= 3，则C 点坐标为(4,1) ， 将C 代入 x2 + y2 = 1 ，解得b2 = 8 ， 18b2x2y21所以椭圆的方程+= ； 189c5（2）证明：由离心率e = = ，则 a =a55c ， b2 = a2 - c2 = 4c ，即b = 2c ， 则椭圆方程为 4x2 + 5y2 = 20c2 ， 则 B(0, 2c) ， F1(-c, 0) ， F2 (c, 0) ，则直线

21、BA 的斜率为-2 ， 则直线 BA 的方程为 y = -2x + 2c ， 联立 y = -2x + 2c，解得 x= 5 c ，则 y = -2 5 c + 2c = - 4c ， 4x2 +225 yA3A33所以54cC( c ， ) ， 33uuur8c4cuuur3所 以 F1C = ( 3 ， ) ， BF2 = (c, -2c) ， uuur uuur8c c - 4cuuuruuur则 F1CgBF2 = 2c = 0 ，所以 F1C BF2 ， 33所以 F1C AB x2y211. 已知 F1，F2 是椭圆C : a2 + b2 = 1(a b 0) 的两个焦点，P 为C

22、 上的点，O 为坐标原点 （1） 若DPOF2 为等边三角形，求C 的离心率； （2） 如果存在点 P ，使得 PF1 PF2 ，且 F1PF2 的面积等于 16，求b 的值和 a 的取值范围 【考点】椭圆的性质 【分析】（1）根据DPOF2 为等边三角形，可得在 F1PF2 中， F1PF2 = 90 ，在根据直角形和椭圆定义可得； a2（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b = 4 ，根据 x2 =c2(c2 - b2 ) ，所以c2b2 ， 从而 a2 = b2 + c22b2 = 32 ，故 a42 ， 【解答】解：（1）连接 PF1 ，由DPOF2 为等边三角形可知在 F1PF

23、2 中， F1PF2 = 90 ， | PF2 |= c ，| PF1 |=3故曲线C 的离心率e = c =-1 a3c ，于是 2a =| PF1 | + | PF2 |= ( 3 + 1)c ， （2）由题意可知，满足条件的点 P(x, y) 存在当且仅当： 1 | y |g2c = 16 ， 2 y yx22y= -1，+= 1 ， x + c x - c即c | y |= 16 ， x2 + y2 = c2 ， a2b2+ yx22 = 1 ， 4a2b22 =由及 a2 = b2 + c2 得 ya2b ，又由知 y2 =c2162c2，故b = 4 ， 由得 x2 =c2(c2

24、- b2 ) ，所以 c2b2 ，从而 a2 = b2 + c22b2 = 32 ，故 a42 ， 22当b = 4 ， a4 时，存在满足条件的点 P 所以b = 4 ， a 的取值范围为4 ， +) 12. 如图，已知点 F (1, 0) 为抛物线 y2 = 2 px( p 0) 的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得DABC 的重心G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧记DAFG ， DCQG 的面积分别为 S1 ， S2 （）求 p 的值及抛物线的准线方程； 1S（）求 的最小值及此时点G 点坐标 S2【考点】直线与抛物

25、线的综合 【分析】（）由抛物线的性质可得： p = 1 ，由此能求出抛物线的准线方程； 2（）设 A(xA ， yA ) ， B(xB ， yB ) ， C(xC ， yC ) ，重心G(xG ， yG ) ，令 yA = 2t ， t 0 ，则 2t2 -1222(t2 -1)xA = t ，从而直线 AB 的方程为 x = 2t y + 1 ，代入 y = 4x ，得： y -ty - 4 = 0 ， 求出 B( 1 ， - 2) ， 由重心在 x 轴上， 得到 2t - 2 + y= 0 ， 从而1 - t)2 ， 1 - t) ， C(2(t2t2t4 - 2t2 + 2tCtt22G

26、(3t2， 0) ，进崦直线 AC 的方程为 y - 2t = 2t(x - t ) ，得Q(t -1， 0) ，由此结合已知条件能求出结果 p【解答】解：（）由抛物线的性质可得： = 1， 2 p = 2 ， 抛物线的准线方程为 x = -1 ； （）设 A(xA ， yA ) ， B(xB ， yB ) ， C(xC ， yC ) ，重心G(xG ， yG ) ， AA令 y = 2t ， t 0 ，则 x = t2 ， 由于直线 AB 过 F ，故直线 AB 的方程为 x =t2 -1 2ty + 1 ， 代入 y2= 4x ，得： y2 - 2(t2 -1)ty - 4 = 0 ， 2

27、ty = -4 ，即 y = - 2 ， B( 1 ， - 2) ， BBt t2t又 x = 1 (x + x+ x ) ， y= 1 ( y+ y + y ) ，重心在 x 轴上， G3ABCG3ABC 2t - 2 + y = 0 ， tC112t4 - 2t2 + 2C( - t)2 ， 2( - t) ， G(， 0) ， tt3t2直线 AC 的方程为 y - 2t = 2t(x - t2 ) ，得Q(t2 -1， 0) ， Q Q 在焦点 F 的右侧，t 2 2 ， S1 | FG |g| yA | 2t4 - 2t2 + 13t2|g|2t |2t4 - t2t2 - 22 S

28、 1 = 12 |QG |g| y | =22t4 - 2t2 + 22= t4 -1= 2 - t4 -1 ， 2C| t -1 -3t2|g| t - 2t |令 m = t 2 - 2 ，则 m 0 ， S1 = 2 -S2mm2 + 4m + 3= 2 -1m + 3 + 4m2 -= 1 + 3 ， 12 mg 3 + 4 m23时， 取得最小值为 当 m =S1 S21 +3 ，此时G(2, 0) 213. 已知点 A(-2, 0) ，B(2, 0) ，动点 M (x, y) 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为- 1 记 M 的 2轨迹为曲线C （1） 求C 的方程，并说明C

29、是什么曲线； （2） 过坐标原点的直线交C 于 P ， Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为 E ，连结QE 并延长交C 于点G (i) 证明： DPQG 是直角三角形； (ii) 求DPQG 面积的最大值 【考点】直线与椭圆的综合 【分析】（1）利用直接法不难得到方程； （2） (i) 设 P(x0 ， y0 ) ，则Q(-x0 ， - y0 ) ， E(x0 ， 0) ，利用直线QE 的方程与椭圆方程联立求得G 点坐标，去证 PQ ， PG 斜率之积为-1 ； G0(ii) 利用 S = 1 | PE | (x + x ) ，代入已得数据，并对 x0 + y0 换元，利用“

30、对号”函数可得 2最值 y0x0）由题意得 【解答】解：（1 y y= - 1 ， x + 2x - 22x2 + y2 = 1( y 整理得曲线C 的方程： 420) ， 曲线C 是焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆； （2） (i) 设 P(x0 ， y0 ) ，则Q(-x0 ， - y0 ) ， E(x0 ， 0) ， G(xG ， yG ) ， 0直线QE 的方程为： y = y0 (x - x ) ， xy22与+ =422x0 1 联立消去 y ， 000 00 00得(2x 2 + y 2 )x2 - 2x y 2 x + x 2 y 2 - 8x 2 = 0 ， x 2 y 2

31、 - 8x 2 -x x= 0 00 ， 000 G2x 2 + y 2(8 - y 2 ) x xG = 0 2 0 ，2 2x0 + y 0yy (4 - x 2 - y 2 ) y = 0 (x - x ) = 000 ， 2xGG02x 2 + y 2000x k= yG - y0 G0PG- xy (4 - x 2 - y 2 )0 2x 2 +0y 2 0 - y0= 002x (8 - y ) 00 - x002x 2 + y 204 y - y x 2 - y 3 - 2 y x 2 - y 3=2320 0 0 00 008x - x y - 2x - x y00 000 0

32、y (4 - 3x 2 - 2 y 2 )2x (4 - 22y - x )= 000 ， 00000把 x 2 + 2 y 2 = 4 代入上式， 得 kPGy (4 - 3x 2 - 4 + x 2 )= 0000002x (4 - y 2 - 4 + 2 y 2 )- y 2x 2= 0 00 02x y 2= - x0 ， y0y0x0 kPQ kPG = (- ) = -1 ， x0y0 PQ PG ， 故DPQG 为直角三角形； (ii)S= 1 | PE | (x - x )DPQG2GQ= 1 y (x + x ) 2 0 G0 y + x = 1(8 - y02 )x0002

33、 0 2x 2 + y 201= 2 y0 x08 - y 2 + 2x 2 + y 2 000002 x 2 + y 2y x (4 + x 2 )= 02 02 02x0 + y 0y x (x 2 + 2 y 2 + x 2 )= 0 0 000002x 2 + y 22 y x (x 2 + y 2 )= 0 0 00002x 2 + y 28 y x (x 2 + y 2 )= 0 0 2 022 02(20x + y0 )(x0 + 2 y0 )8( y x 3 + x y 3 )2x 4= 0 0 0 0000 0+ 2 y 4 + 5x 2 y 28( x0 + y0 ) =y

34、02( x0 + yx00 )2 +1y0x0令t = x0 + y0 ，则t2 ， y0x0SDPQG= 8t =2t2 + 182t + 1t利用“对号”函数 f (t) = 2t + 1 在2 ， +) 的单调性可知， tf (t)4 + 1 = 9 (t = 2 时取等号）， 22 S2 3816 =（此时 x = y =) ， 9DPQG9 2故DPQG00316 面积的最大值为9二. 巩固练习 1. 渐进线方程为 x y = 0 的双曲线的离心率是() 2 C 2 A. 2B1D2【考点】双曲线的性质 【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：根据渐进线方程为

35、x y = 0 的双曲线，可得a = b ，所以c = 2a2则该双曲线的离心率为 e = c =， a故选： C x22. 已知双曲线 - 2y = 1(a 0) 的离心率是 5 ，则 a = ()a2A 6B4C2D1 2【考点】双曲线的性质 【分析】由双曲线方程求得b2 ，再由双曲线的离心率及隐含条件 a2 + b2 = c2 联立求得 a 值 x2【解答】解：由双曲线 - 2y = 1(a 0) ，得b2 = 1， a2cc2a2 + b2a2 + 1又 e = =a5 ， 得 =a25 ，即 a2=a2= 5 ， 解得 a2 = 1 ， a = 1 42故选： D x23. 已知椭圆

36、C1 : m2+ y 2 = 1(m 1) 与双曲线C2 :x - y 2 = 1(n 0) 的焦点重合，e ， e 分别为 122n2C1 ， C2 的离心率，则()A. m n 且e1e2 1B. m n 且e1e2 1C.m 1D. m n 且 e1e2 n ，再由离心率公式， 即可得到结论 【解答】解：由题意可得 m2 - 1 = n2 + 1 ，即 m2 = n2 + 2 ， 又 m 1， n 0 ，则 m n ， 2 2m2 -1 n2 + 1n2 + 1 n2 + 1由e1 ge2 =m2 g n2= 2n2 + g n2= n4 + 2n2 + 1n4 + 2n2= 1 +1n

37、4 + 2n2 1 ， 则e1 ge2 1 故选： A -=x2y20,b0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲 4. 已知双曲线 a2b21(a线交于 A ， B 两点 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1 + d2 = 6 ，则双曲线的方程为()x2y2A. 1 -=39【考点】双曲线的性质 22xyB. 1 -=9322xyC. 1 -=41222xyD. 1 -=124【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可 【解答】解：由题意可得图象如图， CD 是双曲线的一条渐近线 y = b x ，即bx - ay =

38、0 ， F (c, 0) ， aAC CD ， BD CD ， FE CD ， ACDB 是梯形， F 是 AB 的中点， EF = d1 + d2 = 3 ， 2a2 + b2EF =bc= b ， cx2 y2所以b = ，双曲线 -= 1(a 0,b 0) 的离心率为 2，可得 = 2 ， 322abaa2 + b2可得：= 4 ，解得 a =a23 -1=x2y2则双曲线的方程为： 39故选： A 5. 设抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB |= 8 求l 的方程 【考点】直线与抛物线的综合

39、 【分析】方法一：设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线l 的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式| AB |=斜率，求得直线l 的方程； 2 p sin2q，求得直线 AB 的倾斜角，即可求得直线l 的 【解答】解：方法一：抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F (1, 0) ， 设直线 AB 的方程为： y = k (x - 1) ，设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ， y = k (x - 1)2 2222(k 2 + 2)则 y2 = 4x，整理得： k x - 2(k + 2)x + k= 0 ，则 x

40、1 + x2 =k 2， x1 x2 = 1 ， 由| AB |= x1 + x22(k 2 + 2)+ p = + 2 = 8 ，解得： k 2 = 1 ，则 k = 1 ， k 2直线l 的方程 y = x - 1 ； 方法二：抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F (1, 0) ，设直线 AB 的倾斜角为q，由抛物线的弦长公 式 | AB |= 2 p =sin2q4sin2q= 8 ，解得： sin2 q= 1 ， 2q= p，则直线的斜率 k = 1 ， 4直线l 的方程 y = x - 1 ； 6. 设抛物线C : y2 = 2x ，点 A(2, 0) ， B(-2, 0) ，

41、过点 A 的直线l 与C 交于 M ， N 两点 （1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2） 证明： ABM = ABN 【考点】直线与抛物线的综合 【分析】（1）当 x = 2 时，代入求得 M 点坐标，即可求得直线 BM 的方程； （2）设直线l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得 kBN + kBM = 0 ，即可证明ABM = ABN 【解答】解：（1）当l 与 x 轴垂直时， x = 2 ，代入抛物线解得 y = 2 ，所以 M (2, 2) 或 M (2, -2) ， 直线 BM 的方程： y = 1 x + 1 ，或： y = - 1 x - 1 22（2）证明：设直线l 的方程为l : x = ty + 2 ， M (x1 ， y1 ) ， N (x2 ， y2 ) ， y2 = 2x联立直线l 与抛物线方程得x = ty + 2即 y1 + y2 = 2t ， y1 y2 = -4 ， ，消 x 得 y2 - 2ty - 4 = 0 ， ( y2 2 y+ 1y2 y ) + 2( y+ y )( y + y )( y1 y2 + 2)则有 k+ k=y1+y2=212212 =122 = 0 ， BNBMx + 2x + 2(x + 2)(x + 2)(x + 2)(x + 2)121212所以直线 BN