数学人教版九年级上册二次函数与相似三角形之间的综合题.ppt

1、二次函数与相似三角形 的综合题型,田敏,一、复习预习,1.二次函数的基础知识 2.勾股定理 3.相似三角形的性质,二、知识梳理,考点1 二次函数的基础知识,2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为： 一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式； 顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标和除顶点以外的任意一点才能求出解析式； 交点式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式； 对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ， ）,对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为

2、（h，k），由于二次函数的 图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴， 顶点,考点二：勾股定理及逆定理,1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注

3、意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。 （2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则ABC是以C为直角的直角三角形。,考点三：相似三角形的性质,1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。 2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径，内切圆半径等）的比等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 6.若a/b =b/c，即b=ac，b叫做a,c的比例中项 7.c/d=a/b 等同于ad=bc. 8

4、.相似三角形的性质 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比,三例题讲解 例1.如图，RtAOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将AOB绕O点按逆时针方向旋转90，至DOC的位置(1)求过C、B、A三点的二次函数的解析式；(2)若(1)中抛物线的顶点是M，判定MDC的形状，并说明理由,解析:（1）OCD是由OBA旋转所得，因此OB=OC、OA=OD，所以由OA、OB的长，即可得出A、B、C、D四点的坐标，利用待定系数法即可求出过C、B、A三点的二次函数的解析式即用一般式法也可以

5、完成（2）由（1）的二次函数解析式不难求出顶点M的坐标，在已知M、C、D三点坐标的情况下，由坐标系两点间的距离公式可求出MD、CD、MC三边的长，再由三边长来判断MCD的形状,例2.直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，且A与C对应B与D对应，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点 (1) 写出点A、B、C、D的坐标； (2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,【解析】 1图形在旋转过程中，对应线段

6、相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标 3第（3）题判断ABQ90是解题的前提 4ABQ与COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个,1. 如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P求该抛物线的解析式和A点的坐标；连接AC，BP，求证：BCPOCA；在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似，请求出点Q的坐标,课堂练习,2.如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,课程小结 本节课主要研究