2013世纪金榜2.13.ppt

1、第十三节定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用,三年8考高考指数: 1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概念； 2.了解微积分基本定理的含义.,1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点； 2.多以选择题、填空题的形式考查.,1.定积分的定义及具体意义 (1)定义:分割:设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1x2xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间的长度为x. 近似代替：用区间xi-1,xi内任一点i处的函数值f(i)代替f(x). 求和：=_. 取极限得定积分:,(2)具体意义： 曲边图形面积：S=_; 变速运动路程S=

2、_； 变力做功,【即时应用】 (1)思考:积分 与 是否相等？ 提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关. (2)设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上的平均值为_. 【解析】由定积分的含义可知f(x)在a,b上的平均值为 答案：,(3)设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分 的符号为_ (填“正”或“负”). 【解析】由定积分的几何意义可知 的符号为正. 答案：正,2.定积分的几何意义,表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积,【即时应用】 (1)设f(x)是连续函数，且为奇函数，在对称区间-a,a上的定积分 =_. (2)若y

3、=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程,则由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为_.,【解析】(1)由定积分的几何意义和奇函数的性质知 (2)利用定积分的几何意义可得，平面区域的面积应表示为 答案：(1)0(2),3.定积分的性质 性质1=_ 性质2 =_(其中k为常数) 性质3 =_ 性质4 (其中acb),b-a,【即时应用】 (1)已知 则 =_. (2) =_.,【解析】(1)由定积分的性质得 (2)由定积分的性质可得 又sinx与2x都是奇函数，所以所求定积分为0. 答案：(1)1(2)0,4.微积分基本定理 一般地,如果函数f(x)是区间a,b上的

4、连续函数，并且F(x)=f(x)，那么=_.,F(b)-F(a),【即时应用】 (1) =_. (2)一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),所做的功为_. 【解析】(1) (2)所做的功为 答案：(1)2(2)40 J,定积分的计算 【方法点睛】 定积分的计算方法 (1)利用定积分的几何意义，转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.,(2)应用微积分基本定理： 求定积分时，可按以下两步进行： 第一步：求使F(x)=f(x)成立的F(x). 第二步：计算F(b)-F(a).,【例1】(1)(2011福建高考

5、) 等于( ) (A)1(B)e-1(C)e(D)e+1 (2)定积分的值为( ) (A)9(B)3(C) (D) (3)(2011陕西高考)设 若f(f(1)=1，则a=_.,【解题指南】(1)寻求使F(x)=ex+2x的F(x)，从而求得积分值；(2)利用定积分的几何意义，化为求圆面积的一部分；(3)分段函数问题通常需要分段进行计算或判断，从x=1算起是解答本题的突破口.,【规范解答】(1)选C.(ex+x2)=ex+2x, (2)选C.由定积分的几何意义知 是由曲线 直线x=0,x=3，y=0围成的封闭图形的面积，故 故选C. (3)因为x=10，所以f(1)=lg1=0，又因为 所以f

6、(0)=a3，所以a3=1,a=1. 答案：1,【互动探究】本例(2)中，改变积分下限，求 的值. 【解析】由例题知，此时 的几何意义是 由曲线 直线x=-3,x=3,y=0围成的封闭图形的面积,故,【反思感悟】1.求定积分时,如果被积函数比较复杂,可把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差的形式,再求解. 2.求定积分值时，应首先选用微积分基本定理,当满足F(x)=f(x)的F(x)不易求时,可考虑应用定积分的几何意义求解.,【变式备选】 等于( ) (A)-2ln2(B)2ln2(C)-ln2(D)ln2 【解析】选D.,利用定积分求平面图形的面积 【方法点睛

7、】 求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.,【提醒】利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.,【例2】(1)(2011湖南高考)由直线与曲线 y=cosx所围成的封闭图形的面积为( ) (2)求函数 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积.,【解题指南】(1)画出草图，分析如何用定积分表示该面积，再求解.(2)画出草图，设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问

8、题.,【规范解答】(1)选D.由定积分 知识可得 故选D. (2)所求面积为图中阴影部分的面积, 由题意知A(-2,0), B(0,2),C(,0), 所求图形的面积为,C,A,B,【互动探究】将本例(2)改为求由函数 与 围成的图形面积. 【解析】如图:所求图形面积为,【反思感悟】1.在求平面图形的面积时，一般需画出草图，观察图形的面积与定积分的关系； 2.在x轴上侧图形对应的定积分值是正的，下侧图形对应的定积分值是负的.,【变式备选】设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表达式； (2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成

9、图形的面积. (3)若直线x=t(0t1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.,【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c，则f(x)=2ax+b， 又已知f(x)=2x+2,a=1，b=2. f(x)=x2+2x+c. 又方程f(x)=0有两个相等的实根， 判别式=44c=0，即c=1. 故f(x)=x2+2x+1. (2)依题意，所求面积,(3)依题意， 有 2t36t2+6t1=0， 2(t1)3=1，于是,定积分物理意义的应用 【方法点睛】 定积分的物理意义的应用 定积分在物理中可以用来求变速运动的速度、位移、变力做功等.加速度关于时间的积分是速度，速度关于

10、时间的积分是位移，力关于力的方向上的位移的积分是所做的功.,【例3】在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程 s4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v10 m/s时，F5N，求物体在位移区间1,4内克服介质阻力所做的功. 【解题指南】由题意可以先求出阻力F，再利用变力做功公式，求物体克服阻力所做的功.,【规范解答】物体经过时间t所走过的路程 s4t2, 速度v(t)=s=8t. 设F=kv(t)，由“当v10 m/s时，F5N”知F=4t.dW=Fds=4td(4t2)=32t2dt, s1,4,t,1, 物体在位移区间1，4内克服介质阻力所

11、做的功,【反思感悟】用定积分解决变速运动的位移与路程问题时,把物理问题转化为数学问题是关键.另外注意变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和.,【变式训练】一物体在力 (单位：N)的 作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( ) (A)44J(B)46J(C)48J(D)50J 【解析】选B.力F(x)所做的功为,【变式备选】一质点A以速度v1(t)3t21(m/s)在直线l上运动，另一质点B以速度v2(t)10t(m/s)也在直线l上运动，若两质点同时同地出发并同向运动，求经过多少时间，质点A比质点B多运动5 m？

12、 【解析】设经过x s，质点A比质点B多运动5 m，则 即 (x3+x)-5x2=5,解得x=5. 经过5 s，质点A比质点B多运动5 m.,【易错误区】利用定积分求平面图形的面积的易错点 【典例】(2011新课标全国卷)由曲线直线y=x-2及y轴 所围成的图形的面积为( ) 【解题指南】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积.,【规范解答】选C. 与y=x-2以及y轴所围成的图形面积为 如图所示的阴影部分，,(4,2),联立得交点坐标为(4,2)，故所求面积为,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2012唐山模拟)曲线 与直线y=x-1及x=4所围成的封 闭图形的面积为( ) (A)2-ln2 (B)4-2ln2 (C)4-l