（教师版）平面向量的数量积题型一：定义与简单计算专项训练20252026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2页，共17页《平面向量的数量积》题型一：定义与简单计算卷首导学本卷定位数量积的定义是平面向量模块的基石.无论是坐标运算、投影问题，还是最值与范围问题，最终都要回归到定义本身.本卷专攻定义的直接应用，属于月考、期中的必考基础题型，分值占比约10–15分.拿下这部分，后面的专题才能游刃有余.核心易错点夹角判断错误——两向量必须平移至共起点，再判断夹角。看到“三角形中，求”，夹角是的补角，不是本身.特殊角余弦值混淆——，；，.一正一负，差之毫厘.反求参数忽略多解——已知型条件求参数时，往往有正负两个解，丢掉一个就是半对半错.训练目标能瞬间写出数量积定义公式，并准确代入.能熟练处理已知数量积反求模长或夹角的变式.养成“先判断夹角，再代公式”的解题习惯.建议用时：45–50分钟.使用说明：本卷所有题目严禁建系，请全部用定义法求解，以此检验对定义本质的理解深度.试卷正文一、单选题（每题5分，共30分）1.已知，，和的夹角是，求（） A.48   B.24   C.12   D.0【答案速览】B【详细解答】由数量积定义公式： 【易错警示】常见错误：将错记为，导致答案误选为.记忆口诀：“60度余弦一半，30度余弦根三半.”【规律总结】已知模长和夹角求数量积，直接代入定义公式三步走：①写出定义式；②代入模长；③代入夹角余弦值.零失误的关键是准确记忆特殊角的余弦值.2.已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3).以下关于数量积的值，判断正确的是（） A.(1)−10，(2)20，(3)0   B.(1)10，(2)±20，(3)0   C.(1)−10，(2)20或−20，(3)0   D.(1)10，(2)20，(3)1【答案速览】C【详细解答】（1）时，，.（2）时，夹角为或.同向时，得20；反向时，得−20.故为20或−20.（3）时，，数量积为0.【易错警示】平行条件极易漏解！包含同向（夹角0°）和反向（夹角180°）两种情况.只写20是典型的漏解错误，考试中至少扣一半分.【规律总结】平行向量的数量积有两种可能：同向取正，反向取负.垂直向量的数量积恒为0.记住：平行分同反，垂直必为零.3.已知中，，，当或时，试判断的形状（） A.锐角三角形或直角三角形   B.钝角三角形或直角三角形   C.锐角三角形或等腰三角形   D.钝角三角形或等边三角形【答案速览】B【详细解答】由数量积定义：.因为，，数量积的符号完全由决定.当时，，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形.当时，，∠A=90°，△ABC为直角三角形.【易错警示】注意：向量与的夹角就是∠A本身，因为它们的起点都是A.若题目是与，夹角则是∠B的补角，此处最容易出错.【规律总结】判断三角形形状的口诀：数量积看符号，正锐负钝零直角.4.在中，，，，则的值为（） A.20   B.−20   C.   D.【答案速览】B【详细解答】在△ABC中，向量与的夹角不是∠C，而是∠C的补角.将平移至起点C，则的方向指向B，的方向指向A，两向量夹角为. 【易错警示】此题90%的错误发生在夹角判断.看见与就想当然认为是∠C（60°），直接用算出20.正确做法是：把向量平移到共起点，再看夹角.【规律总结】三角形中两边的向量数量积：若两个向量是“头对头”或“尾对尾”，夹角是内角；若“头对尾”，夹角是内角的补角.本题（尾B头C）与（尾C头A），C点一头一尾，夹角为补角.5.已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？（） A.   B.   C.   D.【答案速览】A【详细解答】两向量垂直的充要条件是数量积为0： 展开得：，即.代入模长：，.解得.【易错警示】常见错误①：展开时符号出错，把写成.正确公式是平方差：.常见错误②：解出后，只写，漏掉.垂直条件对方向不敏感，正负两个方向都满足.【规律总结】向量垂直问题的通法：写出数量积=0→展开→代入模长→解方程.遇到平方根一定考虑正负两个解.6.已知，，则“向量共线”是“”的（） A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.既不充分也不必要条件   D.充要条件【答案速览】B【详细解答】若同向共线，则的模为，此时满足.若反向共线，则的模为，此时.所以，“共线”推不出“|a+b|=5”（因为反向时是1），充分性不成立.反之，若，说明两向量同向共线，必要性成立.因此是必要不充分条件.【易错警示】学生容易忽略反向共线的情况，误认为共线就意味着模相加.实际上，共线包含同向（模相加）和反向（模相减）两种可能.【规律总结】判断充分必要性的口诀：先看谁推谁，再看是否唯一.共线有两种情况，不能唯一确定模长，所以充分性不成立；但模长等于模长之和能唯一确定同向共线.

二、填空题（每题5分，共20分）7.已知，，与的夹角为，则______.【答案速览】−72【详细解答】先展开多项式： 再计算.代入：.【易错警示】常见错误①：展开时漏项或符号错，如中间项应合并为.常见错误②：记成，导致数量积算错.【规律总结】向量多项式展开与代数多项式完全一致，只需记住，.展开后代入数量积公式即可.8.若向量与的夹角为，则向量与的夹角是______.【答案速览】60°【详细解答】向量与的夹角为60°，即从逆时针（或顺时针）旋转60°得到的方向.向量与方向相反，与方向相反.两向量同时反向，相对夹角保持不变，仍为60°.【易错警示】不要误以为反向会使夹角变成120°.夹角是两向量之间的“相对旋转角度”，两向量同时反向，旋转角度不变.画个图就能确认.【规律总结】两个向量同时乘以−1，夹角不变.一个向量乘以−1，夹角变为补角（180°−原夹角）.

9.已知向量满足，，且与的夹角为，则等于______.【答案速览】【详细解答】先求.再展开：.【易错警示】展开时注意：，中间项合并为.符号出错是本题最常见的失分点.【规律总结】向量数量积的运算律与代数多项式一致，展开→合并同类项→代入已知量，按部就班即可.10.已知为单位向量，且.若，设的夹角为，则______.【答案速览】【详细解答】单位向量：，且.先求：，，故.再求：.由夹角公式：.【易错警示】注意：题目给的是，展开时中间项是，符号容易写错.由于，此题该项为0，符号不影响结果，但如果换成非零的题目就会致命.【规律总结】求向量夹角的标准流程：①求两向量的数量积；②求两向量的模长；③代入.模长永远通过来计算.

三、解答题（共25分）11.（12分）已知向量与的夹角为，，，求： （1）； （2）.【答案速览】（1）−5  （2）【详细解答】（1）.（2）先求.再求.所以.【易错警示】第(1)问：不要展开后一项项算，直接用平方差公式即可，省时且不易出错.第(2)问：最常见错误是把直接写成，这是绝对错误的！向量模的减法不满足.必须平方，利用数量积公式计算.【规律总结】口诀：见模就平方，遇数量积想定义.处理型问题的唯一正解：先平方，展开为，再开方.【一题多解】第(2)问也可用余弦定理在三角形中求解：以、为邻边作平行四边形，是对角线长度，用余弦定理得.定义法的平方展开本质上就是余弦定理的代数形式，两者等价.本卷要求用定义法，因为它能更直接地训练数量积公式的运用.

12.（13分）已知，. （1）若，求； （2）若与的夹角为，求； （3）若与垂直，求当为何值时，？【答案速览】（1）2或−2  （2）  （3）【详细解答】（1）时，夹角为或.同向时：.反向时：.（2）.，故.（3）由与垂直：，即，得.由： 展开：代入：，得，解得.【易错警示】第(1)问：平行条件必须分同向和反向讨论，漏解扣一半分.第(2)问：切忌把写成，这是初学者最高频的错误.第(3)问：垂直条件的转化必须准确——垂直数量积为0.另外注意先