第二章 群表示理论5-7 彩色.ppt

1、第五节 群元空间,1. 群元空间（Group element space),1,2,正交归一性的证明：,3,个表示矢量，线性独立。 所有不可约表示的维数平方和 可见，C3v 群无3维不可约表示。,2. 类空间(Class space) 定义类矢量： 群G的元素按类区分： C1,C2, Cc c个类矢量，彼此线性独立：,4,以c个类矢量为基矢，组成 c维线性空间，即类空间。 （群元空间的子空间）,5,对每个不可约表示，在类空间确定一组线性独立的矢量：, 综上：,群G ：群乘，内积，加法，数乘,6, 群元素在群元空间中既是矢量，又是算符。 群元算符t：, 群元空间是群元算符的封闭空间,正规表示（

2、regular representation) 群元空间作为表示空间，群元本身作为算符，算符（群元）作用在此空间的基矢上的矩阵，构成群的一个表示，称为群的正规表示。,7,类似于函数空间：,正规表示特点： 1. 表示矩阵每一行、每一列只有一个元素 = 1，其余 = 0； 2. 表示矩阵维数 = g ； 3. 除了单位元，其他群元的表示矩阵的对角元都 = 0。 习题：构造 D3 群的正规表示。,8,在正规表示中, 不可约表示的维数定理： （勃恩赛特(Burnside)定理）,9,一个群的全部不可约表示的维数的平方和等于群阶。,C3v 群的不可约表示：3个，1维、1维、2维,10,不可约表示矩阵元的

3、完全（备）性定理,11,不可约表示特征标的完备性定理：,12,不可约表示特征标的正交性定理：,证明：,13,li维，Cl 类中所有群元的第i个不可约表示矩阵之和。 M(il)与不可约表示Di对易， M(il)必为I0常数倍。类似有,14,15,特征标表： 将一个群的所有不等价不可约表示的特征标系一行一行地排列起来形成的表。,16,类特征标表： 以类的名称为群元标志给出的特征标表。,例1. 确定C2群的特征标表。,17,有 2 个类， l1 =1, l2 =1,确定有限群的特征标表的一般方法： 1. 确定不可约表示的个数和相应维数； 2. 必有单位表示； 3. 单位元表示的特征标等于表示的维度；

4、 4. 利用特征标的正交性、完备性定理； 5. 利用某些群元的特殊性质； 6. 利用商群。,18,例2. C3v 群有几个不可约表示？各自维数是多少？ 求出特征标和表示矩阵。 解：,19,一维表示时，特征标就是表示矩阵。有：,20,以x, y为基矢时， C3v的不可约表示矩阵D(3)如下：,21,C3v的一个三维表示D（丁培柱p53: x2,y2,2xy下的表示）,22,23,根据不可约表示的判据： 所以此表示为可约表示。,24,1. 有限的Abel群，其所有不可约表示都是一维的；,25,2. 除单位表示外，有限群的任一不可约表示的特征标对所有群元求和等于零。 由 令 为单位表示，有,例3.

5、确定C4v群的所有不可约表示的特征标系。,26,27,28,1和3列对应相乘再加=0， x2= 2； 类推 留作习题,对于有限群，需要做以下工作： 不可约表示的数目及其维度。 不可约表示的特征标表。 不可约表示的矩阵形式。 判定一个矩阵表示是否可约。 把一个可约表示化成不可约表示的直和。 （寻找可约表示空间的约化基矢）,29,第六节 可约表示的约化： 投影算符法,有限群G在某线性空间V中有可约表示D，,30,其实，D(R)的约化计算并不容易。,按新基矢 分类： j- 不可约表示，i- 出现次数，k- 第k列基矢。,31,准对角化过程，相当于基矢做了变换,32,即，用旧基矢的线性组合来表达新基矢

6、；由已知的可约表示的基矢确定不可约表示的基矢。,可见， 构成一个不可约表示的不变子空间。,如何确定这些基矢呢？,33,投影算符Pj 的涵义（1）： 从N个不可约表示基矢中，投影出 基矢。i 任意，有 aj 个。,j 固定，令 （i=1aj）构成一个 aj 维空间（ E j子空间） V 中任一函数： 用 Pj 作用：,投影算符Pj 的涵义（2） ： Pj 是V 到 E j 上的投影算符。,34,定理1. f1fN是空间V 的基矢， N个矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量，这aj个矢量可作为E j子空间的基矢。,证明：欲证 中有aj个线性独立的矢量，只需证：任意属于E j的矢量均可用N个矢量 线

7、性组合表示。,35,定理2. E j子空间中有一个归一化的矢量 ，必可由该矢量生成lj个正交归一矢量，构成不可约表示D j的基矢。,36,37,可作为第j个不可约表示的正交归一基矢，生成不可约表示D j的一个不变子空间 。 证毕。 这组矢量就是不可约表示D j的约化基矢。,38,类似地，共可构造aj个不同的基矢组： 生成 aj个按D j变换的不变子空间 ， 它们彼此正交。,39,即可由一个 得到 ，进而可由一个 得到 。,定义位移算符：,40,例1. f1 = x2, f2 = y2, f3 = 2xy，D3群，表示矩阵如下。,D3群的不可约表示的特征标表：,41,该表示的特征标系：3，0，0

8、，1，1，1., 构造投影算符：,43,运用位移算符确定 ：,44,例2. 群 和 的直积群：,45,构造直积群的两个群必须满足： 1. 只有一个公共元素（单位元）； 2. 分别来自两个直积因子中的任两个元素对易。 如：,46,循环群是Abel群 ，类的数目=群阶，有6个不可约表示。 所有不可约表示都是一维的，特征标就是表示矩阵。,循环群，生成元为 。 问题(1) ：求所有不可约表示的特征标系。,47,48,49,一维表示肯定是不可约的。而且，特征标的模一定等于1 (否则发散，且一个群元可有多个特征标)。,的正规子群 ， ，其商群为 与 是同构关系。,50, 二阶群的表示是唯一的（都是一维的，

9、Abel群）,51,另一个商群：, 三阶群的表示也是唯一的（都是一维的，Abel群） 此商群与 C3 同构。,52,问题(2)：求 在三维实空间上的一个表示及其约化。,设 c3 的转轴为z轴，建立坐标系，基矢为 ， ， 对应 x，y ，z 轴的单位矢量。,三维空间构成 群的封闭空间，每个群元在此空间中必有表示，从而其他群元的表示可由群乘求出。,53,的不可约表示都是一维的，所以上述表示都是可约的。现在用投影算符方法确定可约表示空间的约化基矢。,54,55,56,57,58,对应于 的不可约表示 。同理可得其他元素的不可约表示。,即 形成新的约化基矢。,59,第七节 直积群的表示,60,； 如何构造直积群G的表示？,61,la维矩阵与lb维矩阵的直积是lalb 维的。 mn维矩阵与pq维矩阵的直积是mpnq 维的。,矩阵直积的定义：, 直积群的表示就是直因子相应群元的表示的直积。,62,直因子群表示的直积构成直积群的表示。,证明：只需证对于 定有： 即, 直因子群的两个不可约表示矩阵的直积构成 直积群的不可约表示。,63,利用不可约表示的判据：, 直因子群的所有不可约表示的直积给出 直积群的全部不可约表示。,64