3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt

1、,简单线性规划,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角 坐标系中表示 _ _,确定区域步骤： _、_ 若C0，则 _、_.,直线定界,特殊点定域,原点定域,直线定界,直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。,二元一次不等式表示的区域及判定方法：,知识回顾：,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,4,1,4,2,16,8,12,一、实际问题,设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元

2、一次不等式组,将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。,y,x,4,8,4,3,o,x+2y=8,x=4,y=3,提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？,2万元,3万元,y,x,4,8,4,3,o,M,设工厂获得的利润为z，则z2x3y,把z2x3y变形为,它表示斜率为 在y轴上的截距为 的直线。,当z变化时，可以得到一族互相平行的直线。,2x+3y=0,令z=0,作直线2x+3y=0,由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距 的值最大，最大值为

3、 ，,这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。,y,x,4,8,4,3,o,M（4, 2）,( Zmax=2x+3y=24+32=14 ),二、基本概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。,满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域

4、,可行解,最优解,使z=2x+y取得最大值的可行解为 ， 且最大值为 ；,课堂练习,1.已知二元一次不等式组,（1）画出不等式组所表示的平面区域；,满足 的解(x,y)都叫做可行解；,z=2x+y 叫做 ；,（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的 ；,y=-1,x-y=0,x+y=1,2x+y=0,(-1,-1),(2,-1),使z=2x+y取得最小值的可行解 ， 且最小值为 ； 这两个最值都叫做问题的 。,线性约束条件,线性目标函数,线性约束条件,(2,-1),(-1,-1),3,-3,最优解,例2、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg

5、的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？,分析：将已知数据列成表格,三、例题讲解,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/

6、7,它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以zmin28x21y16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,

7、课堂练习2：设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件,求z的最大值和最小值.,x,y,O,例4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三 种规格, 每张钢板可以同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示：,今需要A、B、C三种成品分别是15、18、27块， 问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成 品，且使所用钢板张数最少.,规格类型,钢板类型,2.用量最省问题,讲授新课,讲授新课,解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板 y张，则,作出可行域：,目标函数为zxy,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,

8、x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此

9、基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为 2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 （2，2），

10、则Zmin3,两个结论：,1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 在 y 轴上的截距或其相反数。,书91页练习,1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：,Zmin=-3,Zmax=3,x,y,o,A,B,C,作出直线3x5y z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。,求得A（1.5，2.5），B（2，1），则Zmax=17，Zmin=11。,2、求z3x5y的最大值，使x、y满足约束条件：,3、练习题,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入