首次模拟建模训练

1、越野长跑团体赛记分规则的公平性摘要专科组第3组组员：潘伟 付娟艳 查加才为了丰富人们的生活，提高人们的体质健康水平特别是耐力水平，全面提高人们的综合素质，推动体育活动工作的全面开展。所以在冬季开展长跑比赛活动来提高人们健康水平和耐力是很有必要的，然而在比赛中，记分规则是否合理是每个选手和每个团队所关心的问题。本文就关于比赛的公平性进行研究。 对问题一，我们采用计算团队前五名之和与利用方差进行计算两种不同的方法计算出排名的先后，得到团队排名不同，进而对比得出利用团队前五名队员的排名之和来确立比赛排名的不公平的地方。 对问题二，在只考虑各选手的排序信息的前提下，列举公平的记分规则应满足的一系列性质

2、。 对问题三，根据问题二中记分规则的性质，构造出认为公平的记分规则，以便对比赛后成绩优异的进行奖励。于是采用定性与定量相结合的层次分析法(AHP)，并从公平不公平两方面建立模型，建立各个层次的成对比较矩阵，同时借助于MATLAB计算各个规则权重值并进行排序，从而判断出我们所给的规则公平性程度，最终得到所提出的奖励制度趋于公平。 从实际中得到的结论在现实中易于被人们所接受，并且数学模型简单，容易掌握，是切实可行的、易接受的、也便于推广。 实例证明：论文所建立的奖励公平与否是先进的得到的结论与实际相符，该模型和算法具有严密的逻辑推理和数学依据，为越野长跑团体赛积分规则的公平性提供了一个新的方法，从

3、而得出比较公平的名次大小。关键词： 团体赛 方差 层次分析法 MATLAB计算法 成对比较矩阵一、问题重述越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名。针对本题有三个问题,如下：（1）此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。（2）试讨论在不计时、仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？（3）试根据（2）中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。二、问题分析（一）问题1的分析这个规则是否公平，我们认为

4、它不公平，然后对我们的判断进行证明，我们用两种不同的方法得出不同的结论，从而下结论：这个规则不公平（二）问题2的分析从公平性来讲，不仅要奖励团队还要奖励发挥出色的个人，即要做到整体与部分的统筹兼顾这一性质。（三）问题3的分析根据2中的性质我们构造出了6种奖励规则，然后我们运用层次分析法，两两比较列出成对比较矩阵，进而求出相应的最大特征值和权向量。并进行层次单排序、组合总排序及其一致性检验，得出最佳比赛奖励规则。三、模型假设1、假设选手均以正常状态跑完全程，如：在相同的天气条件下，各选手的承受能力相同。2、假设参赛选手男女均有，认为男女的发挥能力一样3、假设不存在几个人同时到达终点，即不存在名次

5、相同的情况。4、假设比赛赛道足够宽，跑道平坦，对于每个选手而言外部条件一样。5、假设不计时，只考虑选手排序先后顺序。6、假设在比赛过程中各选手不出现作弊和犯规情况。7、假设在比赛过程中不存在两个团队总成绩一样，即团队名次相同的情况不存在。四、定义与符号说明：表示A团队中第i个选手在所有参赛选手中所获得的排名名次（i=1,2,3,4,5,6,7）：表示B团队中第i个选手在所有参赛选手中所获得的排名名次(i=1,2,3,4,5,6,7)：表示A团队的方差：表示B团队的方差：表示准则层C对目标层Z的成对比较矩阵：表示表示规则层对比赛奖励的公平性的成对比较矩阵：表示规则层对比赛奖励的不公平性的成对比较

6、矩阵：表示最大特征根（i=0,2,3）：表示未归化的权向量（i=0,2,3）：表示归化后的权向量（i=0,2,3）：表示的一致性指标（i=0,1,2）：表示的一致性比率(i=0,1,2)：表示层次总排序的一致性五、模型的建立与求解问题一的解答：对于比赛规则是否公平，通过以下两种方法来进行比较得出结论：方法一：取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分。方法二：采用期望与方差（离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的平均水平，而方差取值的稳定和波动，集中与离散的程度）1.从10个团队中任取2个团队，记为A团队B团队，A、B团队中每个队员的名次是随机的且概率均为1/7

7、0。假设A团队中每个队员在所有选手中的排名分别为：A1=1，A2=3，A3=5，A4=10，A5=15，A6=30，A7=36；B团队中每个队员在所有选手中的排名分别为：同样，B1=4，B2=6，B3=7，B4=8，B5=11，B6=51，B7=54;按方法一计算：有 为A团队的总分；为B团队的总分；由上面结果得到A团队优秀于B团队。按方法二计算：有为A团队的方差为B团队的方差由上面结果得到B团队整体成绩优秀于A团队。综上所述，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分存在不公平性。问题二的解答：在不计时、仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足下

8、列性质（1） 一个公平性的记分规则既要考虑团队又要兼顾个人。（2） 为了不能弱化个人之间的竞争，所以要奖励个人前几十名。（3） 分数越低，名次越高。（4） 团队内部选手名次相差不大且名次排在前面，则波动程度小，团队成绩较好。问题三的解答：运用层次分析法分析、解决越野长跑团体赛的计分规则的公平性。层次分析法是一种定性与定量相结合的系统分析法，根据问题的总目标，以系统化的观点，把问题分解成若干因素，并按其支配关系构成递阶层次结构模型，然后运用两两比较的方法确定决策方案的重要性，从而获得满意的决策。2（1）构造层次结构图将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中

9、间层和最低层，绘出层次结构图如下：考虑参赛选手的排序信息判断比赛奖励的公平性公平不公平目标层(Z)准则层C规则层P奖励前3名团队和个人前20名奖励前4名团队和个人前30名奖励前5名团队和个人前40名奖励前6名团队和个人前50名奖励前7名团队和个人前60名奖励前8名团队和个人前70名(2)构造成对比较矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受，因而我们采用了Santy等人提出的一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比；此时采用相对尺度，尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。通常用1-9及其倒数作为程度比较标准，即九级标度法来构造成

10、对比较矩阵标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2、4、6、8上述两相邻判断的中值倒数相应两因素交换次序比较的重要性准则层C对目标层Z的成对比较矩阵为：C=规则层P对准则层C的成对比较矩阵为：C= C=：表示规则层对比赛奖励的公平性的成对比较矩阵，是根据六个奖励规则中的公平性来进行量化的；C：表示规则层对比赛奖励的不公平性的成对比较矩阵，是根据六个奖励规则中的不公平性来进行量化的；（3）计算权向量并做

11、一致性检验对于每一个判断矩阵，计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比例作一致性检验。（CI=0，有完全的一致性；CI接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重）若通过一致性检验，特征向量归一化后即为权向量；若通不过，需重新构造判断矩阵。对矩阵C用matlab求得：最大特征根 ： 未归化的权向量 ： 归化后的权向量为 ：C的一致性指标 ： C的一致性比率 ： 表明C有完全的一致性。各个分量作为相应的各个因素的权重值是合理的，可以用作为其权向量。对矩阵用matlab求得：最大特征根 ： 未归化的权向量 ： 归化后的权向量为 ：的一致性指标 ： 表明有满意的一

12、致性。为了确定的不一致程度的容许范围，我们引入了随机一致性指标RI如表所示： n1234567891011RI000.541.321.411.451.491.51表中n=6时，RI=1.24这时的一致性比率表明成对比较矩阵有满意的一致性，各个分量作为相应的各个因素的权重值是合理的，可以用作为其权向量。对矩阵用matlab求得：最大特征根 ： 未归化的权向量 ： 归化后的权向量为 ：的一致性指标 ： 表明有满意的一致性。为了确定的不一致程度的容许范围，表中n=6时，RI=1.24这时的一致性比率表明成对比较矩阵有满意的一致性，各个分量作为相应的各个因素的权重值是合理的，可以

13、用作为其权向量。（4）层次总排序的一致性检验和计算组合权重可见，组合权重满足一致性检验的要求。因此，规则为奖励前3名团队和个人前20名的占49.40%规则为奖励前4名团队和个人前30名的占24.91%规则为奖励前5名团队和个人前40名的占18.05%规则为奖励前6名团队和个人前50名的占18.84%规则为奖励前7名团队和个人前60名的占10.01%规则为奖励前8名团队和个人前70名的占6.17%综上所述，我们认为更合理的规则为奖励前3名团队和个人前20名。模型的评价及其推广模型优点：1、系统性：层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解，比较判断、综合的思维方式进行决策，符合人们的思维模式，易

14、于为人们接受。2、广泛性：定性分析与定量分析相结合，使许多用传统的优化方法和技术无法着手的问题被成功的解决，也使其应用范围越来越广泛。3、简洁性：本方法不需要复杂的数学基础知识，具有中学文化程度的人也能学会，容易为决策者了解和掌握。模型缺点1、本模型中忽略了参赛选手不会出现作弊及其他严重犯规情况，所以降低了问题的复杂性，使得该模型在实际应用中的适用性降低。2、由形成成对比较矩阵等过程易见，它的判断、比较及其引起的最终结果都是比较粗糙的，不适合精度要求很高的实际问题。当然对于粗线条的和宏观的分析，它总可以给出一个相当不错的估计。因此，在应用中要注意实际化问题的精确要求，不可随意引用。3、从建立层

15、次结构模型到给出成对比较矩阵，掺入了较多的人为主观因素，这就使决策结果可能难以为众人所接受。不过，这个缺点可以通过采取专家群体判断、统计分析及模糊评判等多种途径加以克服。模型的推广前面提到层次分析法不能用于精确度较高的实际问题，而且在构造成对比较矩阵时，掺入了较多的人为因素，不能客观的分析问题，有可能决策的结果难以被众人所接受。所以，采用层次分析法与专家评分法、模糊综合评判相结合的评价方法进行改进。【参考文献】1 辛小龙，刘新平，概率论与数理统计，北京，高等教育出版社，2007年8月第1版，93-101页。 2 刘来福，增文艺，数学模型与数学建模，北京，北京师范大学出版社，2002年3月第2版

16、，60-69页。3 作者无，越野长跑，/.4 作者无，2010年鲁东大学冬季长跑启动仪式及越野比赛规程，/2004-12-15/article/10-12/1505.htm.附录表 a=1 1/7;7 1a = 1.0000 0.1429 7.0000 1.0000 eig(a)ans = 2 0 v,d=eig(a)v = 0.1414 -0.1414 0.9899 0.9899d = 2 0 0 0 d(1)ans = 2 m=v(:,1)m = 0.1414 0.9899 m1=m/sum(m)

17、m1 = 0.12500.8750 c=1 1/3 1/6 1/8 1/3 1/2;3 1 1/2 1/3 1/2 2;6 2 1 1/2 2 4;8 3 2 1 3 5;3 2 1/2 1/3 1 2;2 1/2 1/4 1/5 1/2 1c = 1.0000 0.3333 0.1667 0.1250 0.3333 0.5000 3.0000 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 2.0000 6.0000 2.0000 1.0000 0.5000 2.0000 4.0000 8.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 5.0000 3.0000

18、2.0000 0.5000 0.3333 1.0000 2.0000 2.0000 0.5000 0.2500 0.2000 0.5000 1.0000 eig(c)ans = 6.0806 -0.0127 + 0.6021i -0.0127 - 0.6021i -0.0352 -0.0100 + 0.3539i -0.0100 - 0.3539i v,d=eig(c)v = Columns 1 through 5 0.0832 -0.0624 - 0.0008i -0.0624 + 0.0008i 0.1487 -0.0111 - 0.0583i 0.2315 0.2629 + 0.2971

19、i 0.2629 - 0.2971i 0.0837 0.0559 + 0.0023i 0.4901 -0.2344 - 0.1782i -0.2344 + 0.1782i 0.4353 -0.0968 + 0.5421i 0.7706 -0.6362 -0.6362 -0.8487 0.8176 0.2937 0.3687 - 0.4479i 0.3687 + 0.4479i -0.1509 -0.0519 - 0.0792i 0.1389 -0.0565 + 0.0865i -0.0565 - 0.0865i -0.1961 -0.1110 - 0.0195i Column 6 -0.011

20、1 + 0.0583i 0.0559 - 0.0023i -0.0968 - 0.5421i 0.8176 -0.0519 + 0.0792i -0.1110 + 0.0195id = Columns 1 through 5 6.0806 0 0 0 0 0 -0.0127 + 0.6021i 0 0 0 0 0 -0.0127 - 0.6021i 0 0 0 0 0 -0.0352 0 0 0 0 0 -0.0100 + 0.3539i 0 0 0 0 0 Column 6 0 0 0 0 0 -0.0100 - 0.3539i d(1)ans = 6.0806 n=v(:,1)n = 0.

21、0832 0.2315 0.4901 0.7706 0.2937 0.1389 n1=n/sum(n)n1 = 0.0414 0.1153 0.2441 0.3838 0.1463 0.0692 b=1 3 5 6 7 9;1/3 1 2 3 4 6;1/5 1/2 1 1 2 4;1/6 1/3 1 1 1 2;1/7 1/4 1/2 1 1 1;1/9 1/6 1/4 1/2 1 1b = 1.0000 3.0000 5.0000 6.0000 7.0000 9.0000 0.3333 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 6.0000 0.2000 0.5000 1.0

22、000 1.0000 2.0000 4.0000 0.1667 0.3333 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 0.1429 0.2500 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1111 0.1667 0.2500 0.5000 1.0000 1.0000 eig(b)ans = 6.1222 -0.0095 + 0.7866i -0.0095 - 0.7866i -0.0021 + 0.3565i -0.0021 - 0.3565i -0.0989 v,d=eig(b)v = Columns 1 through 5 0.8758 0.8815 0.8815 0.9095 0.9095 0.3929 -0.0795