1第一章 化学与化工问题的数学描述

1、高等工程数学,Advanced Engineering Mathematics,教学目的和要求： 1:学科基础课。(60学时/3学分) 2:主要内容 (1)以数学方法为主；低起点，大跨度；着重内容的实用性和先进性 (2)还简单介绍MATLAB软件的使用方法和技巧初步掌握运用软件求解基本数学模型的能力，会使用所学软件解决较简单的实际问题,课程规划,第一章 化学与化工问题的数学描述 第二章 矩阵分析 第三章 Matlab基础 第四章 积分变换 第五章 常微分方程 第六章 偏微分方程定解问题 第七章 化工中的优化方法,教材及主要参考数目,王金福，化工应用数学分析，化学工业出版社，北京，2006 李希

2、，化工问题的建模与数学分析方法，化学工业出版社，北京，2006 黄华江，实用化工计算机模拟Matlab在化学工程中的应用，化学工业出版社，北京，2004 邵惠华， 数学物理方法， 科学出版社，北京，2004 周爱月，化工数学，化学工业出版社，北京，2001,考试方式及成绩,1：闭卷考试 2：考试分数平时作业（含上机）最后分数,你希望在这门课程中 学到什么？ 具备什么能力？ 欢迎发信至:,第一章化学与化工问题的数学描述,数学及数学的相关问题 化工问题的数学描述 数据处理 数学模型,数学教学及学习中有两种能力 “算数学”（计算、推导、证明，）与 “用数学”（实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用

3、）的培养应该并重。,过去让同学们用数学工具解决实际问题的困难（手工计算，高级语言编程，）。 计算机强大的运算、图形功能和方便的数学软件，使学生可以自由地选择算法和软件，在屏幕上通过数值的、几何的观察、联想、类比，去发现线索，探讨规律。,让同学们用喜欢“ 玩 ”的计算机解决简化的实际问题，亲身感受“ 用数学 ”的酸甜苦辣。,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,从现实对象到数学模型,我们常

4、见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathema

5、tical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,例（万有引力定律的发现 ）,十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。,如图，有椭圆

6、方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,你需要数学模型 数学模型就在我们身边,星际争霸中的数学建模 数模思想无处不在 运用好需要心领神会,数学建模和最优化的案例就在咱们周围 不去了解和利用数学技术解决身边的

7、问题，实在可惜！,需要事先说明的问题 （丑话说在前面）： (1)数学模型是一种定量分析问题的工具，数学建模有一定的艺术性，否则问题的分析会变糟 (2)定性分析是定量分析的基础 (3)定量分析是定性分析的支持 (4)从数学模型中求解出来的最终答案，仅仅是为实际问题的系统处理提供了有用的可以作为决策基础的信息。,需要事先说明的问题 （课程定位）： 数学建模不是一朝一夕的事情，在做这件事情之前需要有一定的数学基础。本课程就会向大家介绍这些数学基础，为将来数学建模做准备,2 化工问题的数学描述,化学工程的基本研究对象是工业装置的各类传递现象（动量传递、质量传递、能量传递）和化学反应过程。早期的化学工程

8、研究重要采用试验方法，通过量纲分析和相似理论，将实验室研究的结果外推到工业化。对于化学反应过程，试验模型与工业原型之间一般难以满足近似条件，致使相似放大的方法往往失败。因此随着计算机技术的发展，产生了过程系统工程这一学科，以高度的模型化和数学化为其特征，在过程的模拟和系统的综合方面发展出一系列有效的数学方法。,一个数学模型一般由各类数学方程（代数方程、常微分方程、偏微分方程）表出，方程中含变量与参数两类物理量。 对于由微分方程表示的模型，变量又可分为自变量与因变量。自变量一般选取时间和空间坐标，因变量则为浓度、温度、压力、速度、粒度等各类物理量。这类方程一般都是各类守恒定律（质量、动量、能量守

9、恒）的定量表达式。,例如：有关化学反应速率的例子,化学反应速率的定义：单位时间内反应物或生成物浓度改变量的正值。,二、浓度与反应速率,基元反应：反应物通过一步反应变成生成物； 非基元反应：反应物通过多步，才能转变成生成物。,aA + bB cC,质量作用定律：基元反应速率与浓度的相互关系。,S2O82- + 3I-1 2SO42- + I3-,反应级数,三、反应级数,一级反应,零级反应,如：,H2O2 H2O + 0.5O2,N2O5 2NO2 + 0.5O2,如：,酶的催化反应、光敏反应往往也是零级反应。,二级反应,三级反应,如：,CO + NO2 CO2 + NO,S2O82- + 3I-

10、 2SO42- + I3-,2HI H2 + I2,如：,2NO + Br2 2NOBr,2NO + O2 2NO2,四、温度与反应速率 活化能,或,Arrhenius公式,Ea: 实验活化能，作图法求得,过渡状态理论,A + BC AB C AB + C,反应物（始态）,活化络合物 （过渡态）,产物（终态）,催化作用：降低反应的自由能，不能改变反应方向。,1.电位滴定装置与滴定曲线,每滴加一次滴定剂，平衡后测量电动势。 滴定过程的关键：确定滴定反应的化学计量点时,所消耗的滴定剂的体积。 寻找化学计量点所在的大致范围。 突跃范围内每次滴加体积控制在0.1mL。 滴定剂用量(V)和相应的电动势数

11、值(E)，作图得到滴定曲线。 将滴定的突跃曲线上的拐点作为滴定终点，该点与化学计量点非常接近。 通常采用三种方法来确定电位滴定终点。,例：电位滴定分析法（分析化学）,2.电位滴定终点确定方法,(1) E-V 曲线法 如图（a）所示。 E-V 曲线法简单，但准确性稍差。,(2) E/V - V 曲线法 如图（b）所示。 由电位改变量与滴定剂体积增量之比计算之。 E/V - V曲线上存在着极值点，该点对应着E-V 曲线中的拐点。,(3) 2E/V 2 - V 曲线法 2E/V 2表示E-V 曲线的二阶微商。 2E/V 2值由下式计算：,三、电位分析法的应用与计算示例,例题1：以银电极为指示电极,双

12、液接饱和甘汞电极为参比电极,用0.1000 mol/L AgNO3标准溶液滴定含Cl试液, 得到的原始数据如下(电位突越时的部分数据)。用二级微商法求出滴定终点时消耗的AgNO3标准溶液体积?,解: 将原始数据按二级微商法处理,一级微商和二级微商由后项减前项比体积差得到,例:,表中的一级微商和二级微商由后项减前项比体积差得到:,二级微商等于零所对应的体积值应在24.3024.40mL之间, 由内插法计算出:,例子：双波长分光光度法,不需空白溶液作参比；但需要两个单色器获得两束单色光(1和2)；以参比波长1处的吸光度A1作为参比，来消除干扰。在分析浑浊或背景吸收较大的复杂试样时显示出很大的优越性

13、。灵敏度、选择性、测量精密度等方面都比单波长法有所提高。 A A2 A1 (2 1)b c 两波长处测得的吸光度差值A与待测组分浓度成正比。1和2分别表示待测组分在1和2处的摩尔吸光系数。,关键问题:,测量波长2和参比波长1的选择与组合 以两组分x和y的双波长法测定为例： 设：x为待测组分，y为干扰组分，二者的吸光度差分别为: Ax和Ay，则该体系的总吸光度差Ax+y为： Ax+y = A x + A y 如何选择波长1 、2有一定的要求。,选择波长组合1 、2的基本要求是：,选定的波长1和2处干扰组分应具有相同吸光度，即： Ay = A y2 A y1 = 0 故： Ax+y = A x=(x2x1)bcx 此时：测得的吸光度差A只与待测组分x的浓度呈线性关系，而与干扰组分y无关。若x为干扰组分，则也可用同样的方法测定y组分。,可采用作图法选择符合上述两个条件的波长组合。,在选定的两个波长1和2处待测组分的吸光度应具有足够大的差值。,导数分光光度法,导数分光光度法在多组分同时测定、浑浊样品分析、消除背景干扰、加强光谱的精细结构以及复杂光谱的辨析等方面，显示了