2412垂直于弦的直径.ppt

1、垂直于弦的直径,课题24.1.2,1、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形?,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,探究活动,做一做：,如何迅速确定圆纸片的圆心。,为什么？,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,在O中，直径ABCD，图中有那些相等的量？,探究活动,为什么?,A,B,E,D,C,O,在O中，如果ABCD，CD是直径。图中有那些相等的量？为什么?,探究活动,已知：在O中，C

2、D是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E（如图）。,O,C,D,E,B,A,垂径定理:,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,C,B,O,E,A,O,E,B,A,如图，在O中，OEAB于E.,图（1）中，AE=BE吗？为什么？,探究活动,（1）,（2）,图（2）中，AE=BE 吗？ 为什么？,AC,BC,=,垂径定理:,经过圆心的一条直线或线段,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,( ),( ),探究活动,如图，,吗？为什么？,O,E,B,A,将圆的有关问题转化为解直角三角形的问题,例1.,如图,已知在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径

3、.,练一练：,圆的半径为r、圆心到弦的距离d、弦长a之间的关系式：,结 论,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2 O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,8cm,练 习,O,A,B,C,D,例2.,如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD,E,证明：过O作OEAB于E，则,AE=BE，CE=DE,AECE=BEDE, AC=BD,实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.,O,A,

4、B,C,D,例2.,如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD,图形变为下列图形时，还有AC=BD吗？为什么？,O,A,B,C,D,E,证明：过O作OEAB于E，则,AE=BE，CE=DE,AE+CE=BE+DE, AC=BD,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度.,思考与讨论,E,D,油的最大深度ED=ODOE=200(mm),或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).,(1),在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。,OE=125(mm),解：

5、,数学来源于生活.,服务于生活.,小结：,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。,问题与思考,如果将垂径定理条件中的AB CD与结论中的AE=BE交换，即 在O中，CD是直径，AB是弦，CD交AB于E.如果 AE=BE .,成立吗?为什么？,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（3） （4） （2）,（1） （5）,（

6、1） （4）,（3） （2） （5）,讨论,（3） （1）,（2） （4） （5）,（2） （3）,（1） （4） （5）,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,结论,命题(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB,C,B,命题(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,命题(3):

7、平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,推论（1）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂径定理,记忆,推论1,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心

8、 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。,讲解,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，