函数的最大值与最小值-PPT课件.ppt

1、函数的最大值 与最小值,一、复习与引入,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y

2、=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小

3、值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.,三、例题选讲,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0,由表知,当x

4、=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0) f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.,延伸2:设p1,0 x1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.,说明:由于f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.,练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在0,1上的最 大值.,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f

5、(1)=7.,四、应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,由题意可知,当x过小(接近0)或过

6、大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找

7、的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.,练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.,答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.,2.与数学中其它分支的结合与应用.,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-

8、2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.,3.应用问题要引起重视.,(1)利用函数的导数求函数的最值