因式分解一对一辅导讲义

1、课 题因式分解教学目的1、在整除的情况下，会应用因式分解，进行多项式相除.2、会应用因式分解解简单的一元二次方程.3、体验数学问题中的矛盾转化思想.4、培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力.教学内容1、 课前检测(1) (2)(3) (4) (5) (6) （7）下列计算正确的是（ ）A、B、C、D、（8） 下列计算错误的是（ ）A、B、C、D、（9）下列计算错误的是（ ）A、 B、C、 D、参考答案：(1) (2) (3) (4)8 (5) (6)(7)D (8)B (9)B 二、知识点梳理1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分

2、解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法： （3）分组分解法：（4）十字相乘法：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。三、重难点突破1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；

3、提负要变号，变形看奇偶具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例：（1）-am+bm+cm 解法： =-(a-b-c)m（2）a(x-y)+b(y-x)解法：=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。2、运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2反过来为

4、a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2反过来为a2+2ab+b2=(a+b)2 （a-b)2=a2-2ab+b2 反过来为a2-2ab+b2=(a-b)2立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a33a2b+3ab2b3=(ab)3注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。例：已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：

5、故：选C3、分组分解法：能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。例1：ax+ay+bx+by解法：=a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)注：我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。例25ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)4、十字相乘法（这种方法有两种情况）十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解注：这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

6、因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例：分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 解法如下： 1 2解：= 1 3 = 12+13=5kx2+mx+n型的式子的因式分解：如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)图示如下：ac bd例：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3因为：72 1-3-37=-21，12=2，且-21+2=-19

7、，所以=(7x+2)(x-3)四、课堂练习1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。参考答案：1. （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2. 解： 3. 解： 4. 证明： 5. 解：用abc乘以第二个条件等式的两边，得： 说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。 6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。 解： 四：课堂小结（1)因式

8、分解的概念（2）因式分解的常用方法（3）因式分解的一般步骤：五：课后作业1. 把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）ABCD2.把a3ab2分解因式的正确结果是（ ）A (a+ab)(aab) B a (a2b2)C a(a+b)(ab) D a(ab)23.把a34ab2分解因式，结果正确的是（ ）Aa(a4b)(a4b) Ba(a24b2) Ca(a2b)(a2b) Da(a2b)24、在实数范围内分解因式：= 5、分解因式：= ； ax26ax+9a= = .；2ab28a= ；=_； 6、（2011年北京四中三模）已知不等式组的解集是2x3,分解因式x23x2mn= 7、（2011

9、年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷） 在实数范围内因式分解_.8、(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)在实数范围内因式分解： = . 9、2011浙江杭州义蓬一中一模）分解因式： .10、（2011年浙江杭州27模）因式分解：2x28= _。11、（2011年浙江杭州28模）分解因式：=_12、（2011年杭州市上城区一模）分解因式： .13、（浙江杭州靖江2011模拟）因式分解：2x28= _。 14、（2011杭州上城区一模）分解因式： .1 5、（2011北京四中模拟7）分解因式：16、 （2011北京四中模拟6）先化简，在求值:，其中.17、（2011北京四中模拟8）先化简，再求值： ，其中=2 18、（2011年浙江杭州二模）在下面三小题中任选其中两小题完成（1）已知，求代数式的值； （2）分解因式 （3）已知 ，求分式 的值