圆的教学内容与教学设计.ppt

1、圆与正多边形的教学内容与教学设计,课程概述,学习目标 1、了解圆在中学数学知识体系中的地位与作用，明确圆的教学要求，体会圆中的数学思想方法，梳理圆的知识结构. 2、整体把握圆的教学重点、教学难点；体会“落实教学重点、突破教学难点”的具体策略. 3、结合具体教学案例，体会教学要求与教学策略，能够合理定位并规范描述圆中的教学目标、教学重点、教学难点. 4、以教学实录的形式，写一段与圆有关的教学片段（字数不限）.,恰当把握圆的教学感觉,我们需要研究考试，但我们更需要研究教学。研究“考什么”、“如何考”不如研究“教什么”、“如何教”！,定位在“如何考”的角度上教学圆的内容，路只会越走越窄；定位在把圆的

2、思想方法落实到更多学生的身上，路必将将越走越宽,理性面对命题中的个性理解,主要内容,一、圆的概念 二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用 三、圆在教学中的重点、难点 四、初中学习圆的要求与对策 五、“拓展II”中的圆的教学分析与建议 六、具体教学案例分析,一、圆的概念,墨经中的描述：圆，一中同长也. 中，指圆心；长，指半径.,一中同长，指圆上任意一点到圆心的距离都等于半径.,比西方早了1000年,现行中小学数学课本上的描述 小学四年级数学教材（上海教育出版社，试用本）上的描述:圆上所有点到固定的点O都有相等的长度，固定的那一个点O叫做圆心，r叫做圆的半径.,一、圆的概念,初中数学“一期课改”教

3、材上的描述 :在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆 .,初中数学“二期课改”教材上的描述 : （1）圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有的点的集合. (八年级第一学期） （2）圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有的点所成的图形，这个定点是圆心，联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径，这个定长是圆的半径长 .（九年级第一学期）,高中数学教材上的描述：平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹就是圆. 这个定点就是圆心，定长就是半径.,抓住本质属性 （1）圆上各点到定点 O的距离都等于定长 r； （2）到定点O的距离都等于

4、定长 r 的点都在同一个圆上 . 关注承前启后 为高中继续 学习圆的方程奠定基础.,一、圆的概念,九年级数学第一学期课本所给出的圆的定义： “圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形,一、圆的概念,生活中的圆 圆形 圆面 圆球 圆柱,数学中的圆是一个封闭曲线,一、圆的概念,互动交流：圆心O在不在圆O上？,圆心O当然在圆O上，不然为什么叫圆心？,圆心O不在圆O上！,圆的半径与半径长，是同一个概念吗？ 圆的半径是联结圆心和圆上一点的线段，属于图形的范畴，半径长是半径的长度，属于数量的范畴. “同圆的半径长相等” “同圆的半径相等” 要将半径与半径长区分开来，不要混用.,一、圆的概念,个

5、人感觉：不必如此精细，有些时候，模糊朦胧的感觉也很好！但，我忠实地执行教材！,半圆形的周长（或称圆心角是的扇形的周长）与半圆的弧长 ，不是同一个概念！,一、圆的概念,思考： 半径是R的半圆的周长为（ ）,半圆并不是一个封闭图形，因此，半圆只有弧长而没有周长.,这是一个有问题的问题,同圆 等圆 同心圆之间的区别与联系 同圆，指同一个圆；等圆与同心圆，皆指两个圆.,一、圆的概念,等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形.,等圆的半径长相等，但圆心不同；同心圆的圆心相同但半径长不同,例2 一个点与圆上的点之间的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则这个圆的半径长为（ ）. （A） 3cm； （）

6、8cm； （C）16cm或6cm； （ ）3cm或8cm. 教学时，一定要结合具体问题，引领学生体会圆中蕴含的分类讨论思想.,一、圆的概念,圆是一种特殊的对称图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形；同时，圆还是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，即在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度（大于0度且小于360度）,都能够与原来图形重合. 思考：请在横线上填写圆的对称性，圆是中心对称图形、是轴对称图形、还是旋转对称图形，这个题目合适吗？,一、圆的概念,可以设计类似这样的开放题：请在横线上写出一个满足要求的图形 （1）是轴对称图形又是中心对称图形的图形： ； （2）是轴对称图形又是旋转对称图形

7、的图形： .,一、圆的概念,与圆的对称性相关的部分试题赏析,注意：中心对称图形是旋转对称图形的一种特殊情况.,确定一个圆的途径有二： （1） 圆心与半径长； （2） 不在同一直线上的三个点确定一个圆.,一、圆的概念,在教学过程中，要注意引导学生体会“圆的概念- -圆的两个基本要素- -平面上，经过给定一点的圆- -平面上，经过给定两点的圆- -平面上，经过给定三点的圆确定圆的条件（不在同一直线上的三个点或者圆心与半径长）”的知识形成与发展的脉络.,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,因变化而引发的茫然,圆中几乎没有什么内容了,没有什么题目可出了,这只是尚没有 尚没有真正理解教材 而不能适应

8、变化 的一种症状！,在困惑中求变,圆的考法分析,圆是中学数学教学体系中的核心内容之一.圆在中考的分值分配中占有一定比例，圆是中考必须考查的六块核心内容之一. 1、圆与其它知识的综合性强 勾股定理、锐角三角比等内容在“垂径定理”以及“正多边形与圆”的章节中得到了比较和谐的融合.,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,知识综合 篇,2、圆中蕴含了丰富的数学思想方法 “垂径定理”中蕴含了翻折变换、划归思想,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,思想方法 篇,“直线与圆、圆与圆的位置关系”中蕴含了平移变换,“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”中蕴含了图形的旋转变换以及划归的数学思想方法,二、圆在中

9、学数学知识体系中的地位与作用,分类讨论的思想贯穿于圆的各节内容中，如：点与圆的位置关系、平面上经过给定三点的圆、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，都涉及了分类讨论思想.,思想方法 篇,3、从直线型图形扩大到曲线图形，圆在几何学习中具有不可替代的作用,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,在走进圆心角、弧、弦、弦心距之间的问题之后，我们研究某些相等关系的视角，其实已经在悄悄地发生了某种变化,站在圆的平台上研究直线、角、三角形、四边形等内容，观察视角与研究方法时常会令人感到与前不同，多有奥妙之处.,4、圆是实验几何、论证几何的一次融合与整合,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,用翻折、旋

10、转的方法探索圆的对称性,用旋转变换的方法探索圆心角，弧、弦、弦心距之间的关系，,用推理证明的方法确立其相互关系定理.,实验 几何,论证 几何,课本第11页将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,课本第12页关于“垂径定理”的推导说理过程则属于论证几何的范畴.,实验 几何,论证 几何,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,实验几何与论证几何的融合与整合,互动交流 请以“直线与圆的位置关系”为例， 谈谈你对“圆是实验几何、论证几何的一次融合与整合”的理解.,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,

11、（二）、圆在初中阶段学习的作用 1、完善平面几何的知识体系 线段、射线、直线 相交线与平行线 三角形 四边形 圆与正多边形,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,平面几何完成了一次从直线型到曲线型的转变与过渡.,学习了圆，才称得上初见平面几何内容的概貌.,2、借助圆的内容所搭建的交流平台，进一步丰富对常见数学思想方法的理解,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,当圆的部分内容移植到拓展教材之后，我们就需要适度地从题海中抽身出来，回归数学的本体，进一步关注圆中蕴涵的思想方法.,2、借助圆的内容所搭建的交流平台，进一步丰富对常见数学思想方法的理解,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,借助“

12、圆心角，弧、弦、弦心距之间的关系”、“垂径定理”、“直线与圆的位置关系”、“圆与圆的位置关系”等内容搭建的交流平台，进一步丰富对图形的翻折、旋转、平移等图形运动变化思想的认识.,方程 思想,3、借助课本内容所搭建的交流平台，进一步复习巩固相关的知识,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,圆，不是一种孤立地存在. 它与我们以前所学过的代数知识、几何知识有着千丝万缕的联系. 教学过程中，可以借助圆所构建的交流平台换一个角度审视图形（三角形、四边形、多边形） 也可以结合圆的学习过程，进一步运用所学过的知识解决某些与生活背景相关的问题.,课本第13页的例题2（赵州桥）、第27页的例题5（汽车在高速公

13、路上行驶时对周围居民楼带来的噪音影响）,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,综合运用锐角三角比、勾股定理、面积公式等知识解决问题，如课本第15页例题3、第16页例题5、第17页例题7、第34页例题1.,4、进一步提升几何论证推理与严谨表述的能力 教学圆的教学内容时，建议老师们努力降低重心，不要将重点放在追求题目的新旧、难易的层面上，宜重点放在如何严谨有序地表述书写的层面上、重点放在促进更多的学生可以严谨有序地表述自己思维的层面上.,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,如，课本第16页例题5、例题6、例题7，单独询问学生是否会做这些问题，我想95%以上的学生应该都会说自己会做这些题目.

14、但是若要求合理有序、严谨规范地在3分钟至5分钟左右的时间书面叙述出来，80%以上的学生可能会感到困难，当然这其中也不乏有些学生只愿意动脑想（认为自己会了，就匆忙转入新的问题探究）、不愿动手做的情况.,二、圆在中学数学知识体系中的地位与作用,在初中平面几何的最后一段内容，发展必要的几何论证能力以及规范严谨地表述能力是很有必要的！,三、圆在教学中的重点、难点,（一）、圆的总体教学目标 1、了解三角形的外接圆和外心以及圆内接三角形、圆内接多边形的概念. 2、理解圆心角，弧，弦，弦心距的概念,理解圆的旋转不变性；经历关于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的探索过程，掌握其关系定理. 3、掌握垂径定理及其

15、推论；在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；初步会用垂径定理及其推论解决有关数学问题. 4、掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其性质和判定方法，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点. 5、理解相交两圆的连心线和相切两圆连心线的性质定理. 6、掌握正多形的有关概念和基本性质，会画正三、四、六边形.,（二）、圆在教学中的重点 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论 2、垂径定理及其推论 3、圆与圆的位置关系及其性质和判定方法 4、相交两圆的连心线与相切两圆的连心线的性质定理 5、正边多形的有关概念和基本性质以及简单计算,三、圆在教学中的重点、难点,（三）、

16、确定重点的策略与减法启示语 教学重点不是固定不变的，它时常是随着教学场景的变迁而变化的. 在走进课堂之前，教学重点是教学过程中最重要的一个知识（或方法）点；走进课堂之后，教学重点则时常演变为最需要老师将重点落实到学生身上的某几个具体学生. 在备课、上课、作业、考试、辅导等环节中，一定要注意把握重点；要认真研究教学重点的定位，要认真研究教学重点的表述，不要简单地将某个教学目标复制到教学重点的位置之中.,三、圆在教学中的重点、难点,有些老师将教学重点设定为“掌握点与圆的位置关系的判定方法”，是值得商榷的. 掌握点与圆的位置关系的判定方法，是用行为动词描述的教学目标，不是教学重点. 教学重点则是本课

17、时教学内容中，最重要的一个知识（方法）点. 事实上，在设计教学方案的过程中，我发现部分老师时常无法准确地定位教学重点：感觉什么都重要，什么都不愿意放弃,三、圆在教学中的重点、难点,若如此，建议大家使用下面的减法法则与减法启示语帮助自己定位教学重点. 以按照40分钟上课设计的教学内容为参照物，可依次使用下面的减法启示语提醒自己:假如只允许讲30分钟，我将舍弃哪些内容？ 假如只允许讲20分钟，我将舍弃哪些内容？ 假如只允许讲10分钟，我将舍弃哪些内容？ 这样，最后剩下的内容，就应该属于本课的教学重点.,三、圆在教学中的重点、难点,（四）、圆在教学中的难点,三、圆在教学中的重点、难点,（五）、突破难

18、点的教学策略举例,垂径定理以及推论的命题较多，学生理解起来有一定的困难。若老师们再把垂径定理的推论从垂径定理分离出来，单独进行分析论证，势必又额外地加重了学生的学习负担。 建议老师们在教学时，要能够从联系的角度，从整体上认识垂径定理以及推论，要关注垂径定理与推论之间的联系，在进行推论教学时，要着力关注划归的思想方法，要从整体上把握垂径定理及推论，要关注它们之间的联系与转化。可尝试下面的策略。,三、圆在教学中的重点、难点,三、圆在教学中的重点、难点,对于剩下的推论，完全可以放手给学生，引导学生自主尝试完成。 注意：这里，千万不要孤独、割裂地进行命题论证，否则这个课时将无法与学生进行充分的思想交流

19、，很多情况下，这节课就只能形成满堂灌的局面。,命题2 如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.,（2）也可以借用“两点（注：这里指两个特点）确定一条直线”帮助记忆,这是一个假命题！,同一个圆中的任意两条非互相垂直的直径所组成的图形，皆可以成为说明命题2为假命题的事例.由此，命题2可以改造为：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.,（五）、突破难点的教学策略举例,（五）、突破难点的教学策略举例,命题3 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.,命题4 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆

20、心，且平分这条弦所对的弧.,（五）、突破难点的教学策略举例,四、初中学习圆的要求与对策,1、注重对概念本质的理解，准确把握概念 本章新概念较多，对概念的教学要注意从“图”、“文”结合的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高. （1）对于垂径定理及其推论的理解，若使用“图”、“文”结合的方式就比较容易记忆. （2）再如弧、弦、圆心角、弦心距、等弧、等圆等概念的教学，可对照图形进行解说 （3） 要注意概念之间的区别和联系，如“优弧与劣弧”，“同圆与等圆”，“弓形与拱形”，“弦心距与边心距”等,2、关注图形动态变化过程，体会运动变化的思想方法 3、尝试从定性分析到定量分析的研究方式,四、初

21、中学习圆的要求与对策,要引导学生学习从定量分析的角度研究几何问题. 如，教材关于点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系中均运用了从定性分析的基础上引进了定量分析的研究方式：,4、注重学生对于基础知识与基本技能的掌握，提高基本能力 （1）与圆有关的概念以及圆的性质等，以及其中蕴涵的数学思想方法，是重要的基础知识. （2）会画三角形的外接圆、平分弧、画正三角形和正四边形、正六边形，以及能运用推理方法证明圆中的有关性质及其推论等，是基本的数学技能. （3）能运用所学的圆的知识分析和解决一些简单的实际问题，是基本的数学能力.,四、初中学习圆的要求与对策,在教学中，应注意基础知识和基本技

22、能的落实，重视数学基本能力以及一般能力的提高. 关于相交或相切的两圆连心线性质的运用、以及运用正多边形基本性质进行几何计算，要严格控制难度. 切线的判定定理的运用不作要求.,四、初中学习圆的要求与对策,不要总是在切线处打擦边球！,继续使用切线考查圆，这样样本效度有多大？,5、关注圆与三角形、四边形等内容的联系，感受联系、体验划归等数学思想方法 （1）从联系的角度认识图中的三角形、圆,四、初中学习圆的要求与对策,（2）要尝试用类比的思想领会、识记概念，把握之间的联系与区别,四、初中学习圆的要求与对策,如，类比三角形的外接圆与圆内接三角形体会多边形的外接圆与圆内接多边形. 结合具体内容，感受联系、

23、体验划归等数学思想方法.,如，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.其中，渗透着同圆或等圆中的圆心角、弧、弦之间的联系与转化.,（3）善于从化归的角度解读圆 在正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念中，处处渗透着正多边形与其外接圆之间的联系.在解决与正多边形有关的计算时，我们则时常将其划归到半径、半弦、弦心距所围成的直角三角形中，借助解直角三角形解决问题. 事实上，在解决弧长、扇形、弓形中，有关周长、面积等计算问题时，也处处渗透着与圆周长、圆面积及其某些基本图形之间的联系.,四、初中学习圆的要求与对策,6、关注与圆有关的分类讨论,四、

24、初中学习圆的要求与对策,四、初中学习圆的要求与对策,7、了解圆的对称性在解决问题中的运用,8、重视现代教育技术的运用 要恰当运用教育技术，有效利用计算机的画图功能和动态显示功能，帮助学生正确认识几何图形的特征，促进学生从形象思维到抽象思维的发展. 如，学习圆的周长时，可结合生活中与学生距离最近的话题或学生比较感兴趣的话题引入，如可使用PPT插播“神舟七号”升天的视频资料，然后从中升华出数学问题：,四、初中学习圆的要求与对策,五、拓展II中圆的教学分析与建议,（一）、教学分析 1、教学目标 （1） 掌握圆的切线的判定定理与性质定理，掌握切线长定理；理解三角形内切圆的概念，会求特殊三角形内切圆的半

25、径长；了解两圆的位置关系与两圆公切线条数之间的关联，会求两圆公切线的长. （2） 理解圆周角的概念，初步掌握圆周角定理及其推论；知道弦切角的概念以及弦切角定理；会利用弦切角定理解决一些简单的问题. （3） 知道相交弦定理、割线定理、切割线定理，会利用这些定理解决一些简单的计算问题，知道这些定理揭示了两条相交直线与圆有特殊位置关系时所成图形的度量性质. （4） 知道圆内接四边形和四点共圆的概念，知道圆内接四边形的性质定理和判定定理，会应用判定定理证明简单的四点共圆问题. （5） 在圆的研究中，进一步体验由实验归纳到推理论证的过程，体会几何研究的基本方法；了解圆的知识结构，进一步领悟转化、分类讨论等数学思想方法.,2、教学说明 （1）本章内容是第26章 “圆与正多边形”的延续，是在学习了圆的基本性质以及直线与圆、圆与圆的位置关系等内容的基础上，进一步学习由直线与圆构成的图形的一些基本性质以及平面几何研究的基本思想方法，完善平面几何的知识基础. （2）整个初中平面几何的编写，遵循了由“实验几何”逐步进入“论证几何”的发展过程，通过实验几何对平面几何进行探源和奠基，在论证几何中对平面几何逐步进行严格化和系统化.本章内容是初中平面几何的最后一章，主