第四章 根轨迹分析法2_2.ppt

1、4.2 根轨迹绘制的基本法则,7. 根轨迹的分离点和会合点,根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,分离点,会合点,这个点对应于特 征方程的二重根,在下图画出了两条根轨迹。a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。,分离点会合点判别：,实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点 实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点,实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点,基于代数重根法则，如果方程 f(x)=0有重根，则f (x)=0的根也是f(x)=0的根。,分离点会合点求取：,重根法：,联立求解上述两个方程

2、，得出分离点公式,例：已知,解：,补充：分离点方程式,解出sd是分离点坐标,若无零点，右端等于0,例4-6 已知控制系统的开环传递函数为 试求根轨迹在实轴上的分离点。 解：（一）用重根法求分离点 D（s）s（s1）（s2）；N（s）1，故 D（s）3s26s2；N（s）0 利用 D(s)N(s) - N(s)D(s)=0 3s2+6s+2=0 解之，得 s10.423，s21.577,本题的实轴根轨迹区间为：（ ，2和1，0， 故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，也就不可能是分离点，故分离点必落在s1处。 解：（二）,分离点方程为,即,解之，得 s10.423，s21.577(舍),分离角

3、,分离角：分离点处根轨迹的切线与正实轴的夹角,8. 根轨迹的出射角和入射角,根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。用a 表示 根轨迹的入射角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。用b表示,8. 根轨迹的出射角和入射角,根轨迹离开共轭复数极点的出发角 称为出射角 根轨迹趋于共轭复数零点的终止角 称为入射角,入射角,出射角,出射角为,入射角为,例4-11：已知开环传递函数零极点分布图，试确定根轨迹的出射角。,解：,9. 根轨迹与虚轴的交点,利用劳斯判据 令s=j代入闭环特征方程,交点处的增益称为临界根轨迹增益，用Kgp表示,例4-12：已知系统的开

4、环传函，试求其根轨迹与虚轴的交点。,解：,（1）闭环特征方程,（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数,劳斯表,特征方程,在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即 即得根轨迹与虚轴的交点为,设系统的开环传递函数为 开环极点之和为,10. 闭环极点的和与积,闭环极点之和为,闭环极点之积为,且n-m2有：,当 n-m2 时，闭环极点之和等于开 环极点之和且为常数,闭环极点之积和开环零极点关系为,例4-13 已知系统的开环传递函数为 根轨迹与虚轴的交点已在例4-10中求得，为 试寻找其相应的第三个闭环极点，并求出交点处的临界增益Kgp。 解: 本例的闭

5、环特征方程为 或,是三阶方程，应有3个闭环极点。闭环极点之和等于开环极点之和，即 所以,为求取临界增益Kgp，可引用式（4-34）所描述的闭环极点之积的关系。在本例中，c0Kg，故 即 即Kgp6。其结果与例4-10相同。,（1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。 （2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括 m 个有限零点和（n-m）个无限零点）。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹分支数目为 ，根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。,根轨迹绘制法则归纳如下：,（5）分离点与会合点。满足方程,（6）根轨迹的渐近线。 渐近线的

6、倾角,渐近线交点,（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界 值和交点坐标。,入射角,出射角,（7）根轨迹的出射角与入射角,a =180(2k+1)+ - b=180(2k+1) + -,4.3 控制系统根轨迹绘制,1. 单回路控制系统根轨迹的绘制,例：系统开环传函为,试绘制闭环根轨迹。,圆心在开环零点，圆的半径,例：系统开环传函为,试绘制闭环根轨迹。,解:,分支数 起点 终点 实轴上的根轨迹,渐近线 分离点会合点 出射、入射角 与虚轴的交点,例 4-14 控制系统的结构如图。系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=Kg / s (s+1) (s+2) 试绘制系统的根轨

7、迹图。 解： 求根轨迹的步骤如下： （1）根轨迹对称于实轴。 （2）本系统n=3,m=0,因此根轨迹共 有三条分支，起点为系统的开环极点 0，-1，-2。终点都趋向于无穷远处。,Kg/s(s+1)(s+2),C(s),R(s),-,图4-10,（3）实轴上的根轨迹分布在0与-1之间，以及-2的左方。如图所示。,图4-11 根轨迹及其渐近线,（4）由于n-m=3，故渐近线有三条。 渐近线的倾角=180（2k+1）/3,令k=0,1,2，得 =60， 180； 渐近线的截距-a= （0-1-2）/3=-1。 （5）由图可出，由于实轴-1和0两个开环极点之间存在根轨 迹，故-10间必有分离点，在例4

8、-6中已求得分离点在 实轴上-0.42处。 （6）因在-0.42处共有两条轨迹会合后分离，故按 d =180l 可求得分离角d =90 （7）根轨迹与虚轴的交点：在例4-10中已求出为s1=j =j1.414，该点对应的Kgp=6。,解之，得 s10.423，s21.577(舍),令s=j代入闭环特征方程 （8）应用幅值条件确定相应根轨迹的Kg值。例如，求分离点的Kg值。 完整的根轨迹如图4-11所示。,2. 参量根轨迹的绘制,系统开环传函中除 Kg 外其余参数发生变化时闭环特征方程的根变化的轨迹为参量根轨迹。,例 控制系统如图所示，当Kg =4时，试绘制 开环极点 p 变化时参量根轨迹。,重

9、点：写出等效开环传递函数,解:,由系统闭环特征方程得等效开环传函,绘制参量根轨迹的步骤,写出原系统的闭环特征方程。,以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得系统的等效开环传递函数，该方程 中原系统的参量即为等效系统的根轨迹 增益。,绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。,例 4-15 已知具有测速发电机反馈的控制系统如图4-16a所示。试绘出速度反馈系数由0变化时的根轨迹。,解：本题是关于绘制的参量根轨迹的问题。先将图a作结构图等效变换成图b的单回路形式 再按图b得出开环传递函数为 Gk(s)=G(s)H(s)=5(1+s)/s(5s+1) 由此得闭环系统的特征方程为 s(5s+1)+

10、5(1+s)=0 将特征方程化简整理成是否包含的两大部分,3. 正反馈系统的根轨迹的绘制,闭环传函,闭环特征方程,正反馈系统的根轨迹方程,实轴上的根轨迹,渐近线与实轴的 夹角,出射角、入射角,注释：负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180根轨迹 正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹,绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的10条法则中，有3条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余7条法则对正、负反馈系统则是相同的。 （1）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧实轴上，开环零点和极点数目之和应为偶数。 （2）根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点a常规根轨迹相同 渐近线与正实轴的夹角应改为 =

11、1802k / (n - m) k=0,1,2,(3)根轨迹的出射角和入射角： 离开开环极点-pa 时的出射角改为 a= - 离开开环零点-zb 时的入射角改为 b= -,正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根轨迹是互补的,例4-20 设单位正反馈系统的开环传递函数为 试绘制Kg由 变化时的根轨迹。 解：根据正反馈系统根轨迹的有关法则知： （1）系统有1个零点-z=-2，2个极点-p1,2=-1j。 共有2条根轨迹分支，由-p1,2出发。 （2）在开环复数极点-p1上根轨迹的出射角按式（4-52）得 同理，-p2上根轨迹的出射角为,（3）求根轨迹在实轴上的会合点 令 计算N(S)D(S)-N(S)D(S)=0，得 (s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0 经整理后有 S2+4s+2=0 解之得 s1,2=-0.59, -3.41（舍去）