全国高考数学复习第十一篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法课件理.pptx

1、第4节直接证明与间接证明、数学归纳法,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.综合法和分析法有什么区别与联系?,提示: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻求它成立的充分条件.(2)综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它成立的必要条件.(3)分析法易于探索解题思路,综合法易于过程表述,在应用中视具体情况择优选之.,2.用反证法证明问题的一般步骤有哪些?,提示: (1)反设(否定结论):假定所要证的结论不成立,而结论的反面成立; (2)归谬(推导

2、矛盾):将“反设”作为条件,由此出发,经过正确的推理导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)定论(肯定结论):矛盾产生的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.,3.数学归纳法两个步骤有什么关系?,提示:数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误. 第一步中, 验算n=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等.,知识梳理,1.直接证明 (1)综合法 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 的证明方法. (

3、2)分析法 定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 (已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法. 2.间接证明反证法 一般地,假设原命题 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明 ,从而证明了 ,这样的证明方法叫做反证法.,所要证明的结论成立,判定一个明显成立的条件,不成立,假设错误,原命题成立,3.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)归纳递推:假设 时命题成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就

4、可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,n=k(kn0,kN*),n=k+1,对点自测,C,1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+an-1= (a1,nN*)”时,在验证n=1成立时,左边应该是( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a+a2(D)1+a+a2+a3,解析:用数学归纳法证明“1+a+a2+an-1= (a1,nN*)”在验证n=1时,把当n=1代入,左端=1+a+a2,故选C.,B,2.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2

5、”过程应用了( ) (A)分析法 (B)综合法 (C)综合法、分析法结合使用 (D)间接证法,解析:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关系式,所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法.,D,解析:a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.故选D.,B,4.用反证法证明命题“若a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( ) (A)a,b都能被5整除(B)a,b都不能被5整除 (C)a,b不都能被5整除(D)a能被5整除,解析: “至少有一个”的反面应是“一个都没有”.故应选B.,5.下列说法正确的序号是. 综合法是直接证明

6、,分析法是间接证明. 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件. 用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”. 反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. 综合法的理论依据是演绎推理中的三段论推理.,解析:综合法与分析法均为直接证明,分析法是寻求结论成立的充分条件;中“ab”的否定是“ab”;中反证法是只否定结论,因此均不正确.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,综合法,考点一,【例1】 已知a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:a2+b2+c2 .,证明:法一因为a+b+c=1, 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc a2+b2+c2+a2

7、+b2+a2+c2+b2+c2=3(a2+b2+c2), 所以a2+b2+c2 .,反思归纳 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,分析法,考点二,证明:因为m0, 所以1+m0, 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0, 即证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立, 故原不等式得证.,反思归纳 (1)分析法是“执果索因”的

8、证明方法,它是从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.,反证法,考点三,【即时训练】 已知数列an的通项公式为an=n+ . 求证:an中任意不同的三项都不可能为等比数列.,数学归纳法,考点四,【例4】 设数列an的前n项和为Sn,并且满足2Sn= +n,an0(nN*).猜想an的通项公式,并用数学归纳法加以证明.,反思归纳 利用数列

9、的递推关系式,求出数列的前几项,猜测其通项公式,然后用数学归纳法证明,是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种解决数列通项公式的重要方法,也是“归纳猜想证明”问题的重要解题模式,求解此类问题时,在准确归纳出数列通项公式,用数学归纳法证明时要注意应用数列的递推关系式,由n=k推到n=k+1时的情况.,【即时训练】 导学号 18702632 已知数列an,a1=3,an+1= (nN*).,(1)求a2,a3,a4的值,并猜想an的通项公式;,(2)用数学归纳法证明你的猜想.,备选例题,(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;,(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.,【例2】 设a,b,c是互不相等的正数,求证: (1)a4+b4+c4abc(a+b+c);,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,正确选用合理的数学证明方法,【教师备用】,审题指导,满分展示:,答题模板:第一步:使用数学归纳法证明