数理统计1-1母体和子样

1、数理统计（mathematical statistics）是以概率论为理论基础的，从试验数据出发研究随机现象规律性的一门应用性很强的数学学科。内容包括：1.如何合理的搜集数据抽样方法、试验设计； 2.如何根据收集到的局部数据较准确地分析推断总体情况统计推断（本课重点）。第一章 抽样和抽样分布1.母体和子样1.1 母体及其分布（1）母体与个体母体（population,亦称总体）：研究对象的某项数量指标的各可能取值的全体（各可能取值有一定比率）。个体(individuality)：总体中的每一个取值。见P1例1、例2、例3。（2）母体的分布母体与随机变量：母体对应一个随机变量X，不加区别，记为母

2、体X。如例1中的母体对应着具有如下分布的随机变量X:X120p0.7210.2130.066母体的分布与数字特征：即指母体所对应的随机变量X的分布（分布函数、分布律、分布密度等）与数字特征（期望、方差、标准差、矩）1.2 子样（样本）（1）子样与抽样子样（sample, 亦称样本）：从母体中抽取一部分个体（如n个,以推断母体的有关性质），称为子样（样本）。子样中个体的个数n称为子样容量(sample size) 。如例1的母体中抽取一个子样（0,1,1,2,0,2,0,0,1,0）,子样容量为10.实际上，这一子样是10维随机变量的一组观察值。一般，容量为n的子样对应着一个n维随机变量，称为“

3、子样”，其观察值称为“子样值”。抽样：取得子样的过程称为抽样；子样中每个个体称为样品。（2）随机抽样法随机抽样法分为重复抽样和不重复抽样两类。在重复抽样中， 相互独立，且均与母体有相同分布。在不重复抽样中，无限母体情形下仍可认为相互独立，且均与母体有相同分布；有限母体情形下若仍可这样认为。（3）简单随机子样若子样满足：独立性：相互独立；代表性：均与母体 X同分布，则称子样为简单随机子样(simple random sample)。抽样前，子样是随机变量；抽样后，得到一组观察值即子样值。（4）母体分布与子样分布若母体X有分布函数F(x) ,则其子样有联合分布函数Fn(x1 ,x2 ,xn)=F(

4、x1)F(x2)F(xn)若离散母体X有分布律，则其子样有联合分布律Pn(x1 ,x2 ,xn) =若连续母体X有分布密度f(x)，则其子样有联合分布密度例1.1.1 是来自总体的一个样本，求: 解： , 例1.1.2 是来自总体X的一个样本， 求:解： 1.3 子样(值)的分布作用：刻画了子样中数据的分布情况三种方法：（1）频数分布和频率分布；（2）经验分布函数； （3）直方图。（1）频数分布和频率分布（frequency distribution）例1.1.3 从某班试卷中随机抽取10份，考分依次为：，求频数分布和频率分布.作法：把数据按从小到大的次序排列；把相同的数据合并，并指出其频数（

5、这一相同数据的个数）；频数分布：50608090100频数12421频率分布：50608090100频率0.10.20.40.20.1一般，将子样值中的数据由小到大依次排列，相同数值合并记下频数。设子样中不同数值为，相应频数为，其中，且，则有频数分布频数频率分布频率（2）经验分布函数例1.1.4 已知母体X的频数分布为50608090100频数12421求经验分布函数.解：由频数分布可得频率分布50608090100频率0.10.20.40.20.1于是经验分布函数为定义：称为的经验分布函数(empirical distribution function) 。其中是来自母体X的一个子样，子样值

6、为， 对于，是中小于或等于x的子样值个数，称为经验分布频数。求法：由频数分布得频率分布，再得经验分布函数.具体地将划分成l+1个左闭右开的区间,当时, 经验分布函数性质：经验分布频数具有与分布函数类似的性质，即有单调非降；右连续；.说明：对于任意取定的x，是中小于或等于x的子样值个数，即是n次独立重复试验中事件发生的次数，是一个随机变量，故也是一个随机变量。若已知母体的分布函数为，则， 从而. ，从而定理：是来自母体X的一个子样，X的分布函数为，则对于任意取定的x，有. 证明：对于任意取定的x，由贝努利大数定律知 证毕.注：当n充分大时，可以用一次抽样后所获子样值构造的经验分布函数去近似母体X

7、的分布函数.格利汶科定理(Glivenko theorem)：是来自母体X的一个子样，X的分布函数为，则对于，有证略。结论从全局意义上（而不是单个x处）进一步说明： 当n很大时，是很好的近似，这是统计中用样本估计总体的理论依据.（3）直方图(histogram)步骤：（以P10例4为例，数据见P6表1-3）找出子样观察值的最小值，最大值分组：取组数，第i组的取值区间为，区间长度称为组距计算落入每个中的子样值的个数，频率为画出以为底（长为组距），为高的小矩形。（面积，即为该组频率）依上述步骤得到的各组数据见P12表1-6，图见P12.考试成绩直方图的matlab程序（以频数为纵坐标）x=100,

8、95,92,88,86,85,83,82,80,79,78,77,75,74,72,71,69,67,66,64,62,60,57,57,52,45,37;hist(x)x=100,95,92,88,86,85,83,82,80,79,78,77,75,74,72,71,69,67,66,64,62,60,57,57,52,45,37;hist(x,7)x=100,95,92,88,86,85,83,82,80,79,78,77,75,74,72,71,69,67,66,64,62,60,57,57,52,45,37;a=35,45,55,65,75,85,95;hist(x,a)直方图与母体

9、密度函数图象：由于以母体密度函数曲线为曲边、小区间为底的曲边梯形面积为 且直方图中第i个矩形的面积等于该组频率，即，故由大数定律知，此频率依概率收敛于（*）式中的概率值。故当n愈大，且组距愈小，直方图的外廓曲线愈接近于母体密度函数的图形。1.4 子样数字特征（1）统计量定义： 是子样的连续函数，且不含任何未知参数，则称为统计量(statistic)。统计量Y的分布称为抽样分布(sampling distribution)，当有观测值时，称为Y的观察值。例1.1.5 是来自的一个样本，未知，已知，则（）为统计量. （2）常用统计量与母体矩 子样数字特征（随机变量）与母体数字特征（常数）子样均值(

10、sample mean):母体均值: 子样方差(sample variance): 母体方差:子样均方差(sample standard,亦称子样标准差):母体均方差或称标准差:修正子样方差：修正子样均方差：子样k阶原点矩(sample moment of order k about origin):母体k阶原点矩 子样k阶中心矩(sample central moment of order k):母体k阶中心矩子样值的数字特征（子样数字特征的观察值）子样均值 子样方差 子样均方差 修正子样方差修正子样均方差子样k阶原点矩 子样k阶中心矩当子样值以频数分布给出时子样均值子样方差 子样均方差 修

11、正子样方差修正子样均方差子样k阶原点矩 子样k阶中心矩子样均值、子样方差的依概率收敛性设母体有: 则由于子样()满足:相互独立且均与同分布,故 （由契比晓夫大数定律知）； 证明：由知 （1）由契比晓夫大数定律知 （2）由（1）（2）两式，再结合依概率收敛的性质，就有亦即即当n很大时可以用一次抽样所得的分别去近似.（3）顺序统计量例1.1.6 设子样（）在三次抽样中分别有子样值：子样子样值2 .12.41.81.72.32.52.11.92.01.81.61.91.72.02.1将三组数据分别由小到大重新排序后，将其视为随机变量（）的三组观察值，有：子样子样值1.71.82.12.32.41.8

12、1.92.02.12.51.61.71.92.02.1则称（）为（）的顺序统计量。定义：子样有子样值，将数据由小到大重新排序后记为，将其视为随机变量的观察值，则称为的顺序统计量(order statistics)。注：不独立。（4）子样中位数与子样极差（也是子样数字特征）子样中位数(sample median)及其观察值: 子样极差(sample range):注：当是偶数时，子样中位数有时（如在matlab等数学软件中）取为.子样中位数刻画了子样的位置特征；子样极差刻画了子样的分散特征。和子样均值相比，子样中位数较少受异常值的影响，具有鲁棒性。补充内容：计算器统计功能的使用1. 进入和退出统

13、计状态：on 2ndF on；2ndF on2. 输入子样观测值：x1 DATA , x2DATA , , xnDATA3. 读出统计量的值：按显示子样均值；按显示修正子样标准差；按 显示修正子样方差；按显示子样标准差；按 显示子样方差4. 销去错误输入的数据xi：xi 2ndF DATA5. 销去前一次输入的所有数据: on或2ndF on或off补充内容：描述性统计的MATLAB命令对于由子样值构成的向量x，有函数名称功能调用格式mean求子样均值mean(x)var求子样方差var(x,1)std求子样标准差std(x,1)var求修正子样方差var(x)std求修正子样标准差std(x

14、)moment求子样k阶中心矩moment(x,k)median求子样中位数median(x)range求子样级差range(x)prctile求子样p分位数prctile(x,p)hist画子样的直方图hist(x)boxplot画子样的盒图boxplot(x)补充内容：箱线图（盒图）及其MATLAB作图1子样分位数（1）定义：设有容量为的子样观察值，子样分位数记为，它具有以下性质：至少有个观察值小于或等于；至少有个观察值大于或等于.（2）求法：将子样观察值按由小到大的次序排列成，子样分位数记为， 若不是整数，则观察值中只有一个数据（即）满足上述两性质；若是整数，则观察值中两个数据（即和）均

15、满足上述两性质，故取其算术平均值为. 于是特别，当时，比较常用，分别称为第一四分位数（又记为），中位数（又记为或），第三四分位数（又记为）.例1.1 以下是8个病人的血压（收缩压，mmHg）数据（已排过序），求.102，110，117，118，122，123，132，150解：，；，；，；，.2. 箱线图（box plot, 亦称盒图）箱线图（盒图）是由箱子和直线构成的图形，是子样值的基于以下五个数的图形概括：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值. 3. 用MATLAB画箱线图（盒图）（1）一个数据样本的盒图例1.2 以下容量为18的子样值已排过序，画其盒图。122 126 13

16、3 140 145 145 149 150 157 162 166 175 177 177 183 188 199 212 hold offx=122 126 133 140 145 145 149 150 157 162 166 175 177 177 183 188 199 212;boxplot(x)（2）两个数据样本的盒图例1.3 下面分别给出了25个男子和25个女子的肺活量（以升计，数据已排过序），画其盒图。女子组：2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.2男子组：4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8 5.1 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.8 6.0 6.1 6.3 6.7 6.7 hold offx1=2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.2;x2=4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8 5.1 5.3