高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件文.ppt

1、文数 课标版,第二节导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.,教材研读,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f (x)0.() (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f (x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.() (3)在(a,b)内f (x)0且f (x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.()

2、,1.已知函数f(x)的导函数f (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 (),答案D由题图可知,当xx1时,由导函数f (x)=ax2+bx+c0知相应的函数f(x)在该区间上单 调递增.,3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+) 答案D由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex, 令f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).,4.已知函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上为单调递增函数,则 实数m的取值范围是. 答案2,4,解析f (x

3、)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由题意可得f (x)0在xR 上恒成立,所以=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=4(m2-6m+8)0,解得2m4.,考点一利用导数判断(证明)函数的单调性 典例1已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1. 讨论函数f(x)的单调性. 解析 f(x)的定义域为(0,+), f (x)=+2ax=. 当a1时, f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增; 当a0 时, f (x)0,故f(x)在上单调递减,在上单 调递增.,考点突破,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: 求f (x). 确定f (

4、x)在(a,b)内的符号. 作出结论:f (x)0时为增函数;f (x)0时为减函数. 提醒研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,1-1(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 解析(1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=-处取得极值,所以f =0, 即3a+2=-=0,解得a=. (2)由(1)得g(x)=ex, 故g(x)=ex+ex =ex,=x(x+1)(x+4)ex. 令g(x)=0,解得x=

5、0,x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上,知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,考点二利用导数求函数的单调区间 典例2已知函数f(x)=+-ln x-,其中aR,且曲线y=f(x)在点(1, f(1) 处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 解析(1)对f(x)求导得f (x)=-,由曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线 垂直于直线y=x,得f (1)=-a=-2,解得a=. (2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f (x

6、)=, 令f (x)=0,解得x=-1或x=5.,因x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时, f (x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数. 故函数f(x)的单调增区间为(5,+),单调减区间为(0,5). 方法技巧 利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x),令f (x)=0,解此方程,求

7、出在定义区间内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.,2-1已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间. 解析(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1

8、,c)处有公共切线,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当a2=4b,即b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,则h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=0,得x1=-,x2=-. a0, h(x)与h(x)的情况如下:,函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间 为.,考点三利用导数解决函数单调性的应用问题 命题角度一已知函数的单调性求参数的取值范围 典例3已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围; (2)若f(

9、x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围; (3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值. 解析(1)因为f (x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f (x)0在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+)上恒成立,所以a3,即a的取值范围为(-,3. (2)由题意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x23,所以a3.即当a的取值范围为3,+)时, f(x),在(-1,1)上为减函数. (3)由题意知a0.f(x)=x3-ax-1,f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x=,f(x) 在区间(-1,1)上为单调递减函数, =1,即a=3.,典例4(1)若0ln x2-ln x1B.-x1 D.x2x1 (2)已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导数f (x),则不等式f(x2) +的解集为. 答案(1)C(2)(-,-1)(1,+) 解析(1)令f(x)=,则f (x)=. 当0x1时, f (x)0, 即f(x)在(0,1)上单调递减, 0x1x21,命题角度二比较大小或解不等式,3-2(2017山东临沂期中)