《数值计算功能》PPT课件.ppt

1、6.3 微分和积分,数值微分,有限差分 1求元素之差函数diff( ) 格式一：A=diff(x) 功能：计算x中相邻元素之间的差值或近似导数。如果x为向量，则返回一个比x少一个元素的向量，其元素值为x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，x(n)-x(n-1)；如果x为矩阵，则返回一个列间差值的矩阵：x(2:n,:) - x(1:n-1,:)。 格式二：A=diff(x, n) 功能：使用diff函数递归 n 次，计算第n阶差值。例如，diff(x,2) = diff(diff(x)。,2020/9/13,第6章 数值计算功能,2,例6-21 使用diff函数求数值微分。 解：在命令窗口中输

2、入如下命令，并按Enter键确认。 h = .002; x = 0:h:pi; diff(sin(x.2)/h; %is an approximation to 2*cos(x.2).*x X=6,9,3,4,0;5,4,1,2,5;6,7,7,8,0;7,8,9,10,0 X = 6 9 3 4 0 5 4 1 2 5 6 7 7 8 0 7 8 9 10 0 A=diff(X) A = -1 -5 -2 -2 5 1 3 6 6 -5 1 1 2 2 0 B=diff(X,2) B = 2 8 8 8 -10 0 -2 -4 -4 5,2020/9/13,第6章 数值计算功能,3,2求数值

3、梯度函数gradient( ),两变量函数F(x, y)的梯度定义为,对N个变量函数 F(x,y,z, ) 其梯度为,梯度可看作指向F增加方向的向量集。,格式一：Fx=gradient(F) 功能：F为一向量，返回F的一维数值梯度，Fx与,一致，表示x方向的差分。,格式二：Fx, Fy=gradient(F) 功能：F为一矩阵，返回二维数值梯度的x和y分量。 Fx与,表示x(列)方向的差分,Fy与,一致，表示y(行)方向的差分。每个方向点间距离设为1。,函数的数值积分 数值积分实际是计算函数曲线下的面积，即定积分 基本思想是将整个积分区域划分为若干子区间。 矩形求积函数cumsum cumsu

4、m (x)对向量x，返回一个向量，该向量的第N个元素是x 的前N个元素的和, x1=1 2 3 4 5 6 7 8 x1 = 1 2 3 4 5 6 7 cumsum(x1) ans = 1 3 6 10 15 21 28 36, x2=1 2 3 ;4 5 6;7 8 9 x2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cumsum(x2) ans = 1 2 3 5 7 9 12 15 18, x=0:0.1:10; y=sin(x); z=cumsum(y)*0.1; plot(x,y,r-,x,z,k*) ,例6-25 使用cumsum函数求函数sin(x)在0,10区间内的积分。,-t

5、rapz函数(梯形求积),格式一：T=trapz(Y) 功能：以单位间隔，采用计算若干梯形面积的和来计算某函数的近似积分。如果Y为向量，计算Y的积分；如果Y是矩阵，得一个每列积分的行向量；如果Y为多维数组，则沿第一个非单元素维计算。 格式二：T=trapz(X,Y) 功能：用梯形积分法，依据X计算Y的积分。如果X为矢量，则Y必须是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且数组Y第一非单元素维长度为length(X)，则在该维中计算。,例6-26 trapz函数采用梯形求积法来求解积分。 X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z1=trapz(X) Z1

6、= 40,Cumsum函数对向量求积分时返回一个向量（不定积分） ，Trapz函数返回一个数值（定积分）,-自适应法(Simpson法) 低阶数值积分函数quad 格式一：q=quad(fun,a,b) 功能：采用自适应的Simpson积分方法，返回函数fun 在上限 a 和下限 b之间的数值积分。当给定一个输入值向量，fun 必须返回一个输出向量。函数fun可以是函数名、函数句柄或字符串。 格式二：q=quad(fud,a,b,tol) 功能：按指定绝对误差tol返回数值积分值, tol 缺省值为 1e-6。,例6-27 quad函数使用自适应法(Simpson法)来求解积分。 函数 先编制

7、M文件如下。 function f=fun1(x) f=x.2./(1+sin(x)+x.2); end 将该M文件以fun1.m为函数名保存。继续在命令窗口中输入如下命令，并按Enter键确认。 quad(fun1,0,1) ans = 0.2301 ,-高阶自适应法(Newton-Cotes法) 高阶quad8函数 默认相对误差为1e-3,例6-28 quad8函数使用自适应法(Simpson法)来求解积分。 函数 先编写M文件如下。 function f=fun2(x) f=x.2./exp(-x); end 在命令窗口中输入如下命令，并按Enter键确认。 quad8(fun2,0,3

8、) ans = 98.4277 a=quad8(fun2,1,3,1e-10,1e-11) a = 97.7094,2020/9/13,第6章 数值计算功能,9,双重积分函数dblquad MATLAB提供了一个求双重积分的函数dblquad，其基本调用格式为： 格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 功能：按指定精度tol，对指定函数 f(x, y)在xmin, xmax范围和ymin, ymax范围进行双重积分。精度tol缺省时默认精度为1e-6。,例：求积分 q=dblquad(exp(-x.2.-y2),-1,1,-1,1) q = 2.23

9、10,6.4 MATLAB 7与线性代数,矩阵的特征值函数及其功能,矩阵求逆函数inv及行列式值函数det 逆矩阵的定义：对于任意阶 nn 方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：A*V=I。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。 格式：V=inv(A) 功能：返回方阵A的逆矩阵V。,矩阵的逆运算 A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4 A = 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 B=inv(A) B = 1.0000 0 0 0 -0.5000

10、0.5000 0 0 -0.5000 -0.1667 0.3333 0 0.1250 -0.2083 -0.0833 0.2500 ,矩阵的秩 T1=1 1 1;2 2 3 T1 = 1 1 1 2 2 3 r=rank(T1) r = 2 ,矩阵的分解运算,三角分解(lu) 正交分解(qr) 特征值分解(eig) Chollesky分解(chol) 奇异值分解(svd),三角分解(lu) X=6 2 -1;2 4 0;1 4 -1;-1 -1 3 L,U=lu(X) L = 1.0000 0 0 0.3333 0.9091 0.4068 0.1667 1.0000 0 -0.1667 -0.

11、1818 1.0000 U = 6.0000 2.0000 -1.0000 0 3.6667 -0.8333 0 0 2.6818 ,正交分解 A=17 3 4;3 1 12;4 12 8 Q,R=qr(A) Q = -0.9594 0.2294 0.1643 -0.1693 -0.0023 -0.9856 -0.2257 -0.9733 0.0411 R = -17.7200 -5.7562 -7.6749 0 -10.9939 -6.8967 0 0 -10.8412,矩阵的翻转 A=randn(3) A = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 B=fliplr(A) B = 1.1892 0.2877 -0.4326 -0.0376 -1.1465 -1.6656 0.,7. MATLAB 7 与概 率 统 计,随机数的产生,均匀分布的随机数据的产生 （unifrnd） R=unifrnd(A,B)返回区间A,B上的连续型均匀分布 R=unifrnd(A,B,M,N)返回一个