专题07+三角变换及解三角形(易错起源)-高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析

1、最新 料推荐1. 【 2017 山东，理9】在c 中，角， c 的对边分别为 a ， b ， c 若c 为锐角三角形，且满足 sin 12cosc2sincosccossinc ，则下列等式成立的是（ a） a 2b（ b） b 2a（ c）2（d）2【答案】 a【解析】 sin( ac ) 2sin b cosc 2sin acosccos asin c所以 2sin b coscsin acosc2sin bsin a2b a ，选 a.2. 【 2017 北京，理12】在平面直角坐标系xoy中，角 与角 均以 ox为始边，它们的终边关于y 轴对1， cos() =_.称 . 若 sin3

2、7【答案】93. 【 2017 浙江， 14】已知 abc， ab=ac=4，bc=2点 d为 ab延长线上一点， bd=2，连结 cd，则 bdc的面积是 _，cos bdc=_【答案】15 ,1024【解析】取bc中点 e， dc中点 f，由题意：aebc , bfcd ， abe中， cosbe1cos1115abc，dbc,sin dbc1，ab44164sbc d1bdbcsindbc15 22又 cosdbc12sin2dbf1 ,sin dbf10，441最新 料推荐cos bdc sin dbf10，4综上可得， bcd面积为15 ， cos bdc10244. 【 2017

3、课标 ii ，理 17】abc 的内角 a、b、c 所对的边分别为a, b, c ，已知 sin a c8sin 2 b ，2（ 1）求 cosb ；（ 2）若 ac 6 ，abc 的面积为 2，求 b 。【答案】 (1)cos b15； (2) b=217【解析】 b=2（ 1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（ 2）由，故又由余弦定理及得所以 b=2.1. 【 2016 高考新课标2 理数】若 cos(3（）)，则 sin 245（ a） 7（b） 1（c）1（ d）7255525【答案】 d2最新 料推荐327【解析】 cos 22cos 21 21，44525且 cos 24cos

4、22sin 2，故选 d.2. 【 2016 高考新课标 3 理数】若 tan3，则 cos22sin 2（）4(a) 64(b)48(c) 1(d)16252525【答案】 a【解析】由 tan3 ，得 sin3 ,cos4 或 sin3 ,cos4 ，所以45555cos22sin 21641264252525 ，故选 a7. 【 2016 高考天津理数】在abc中，若 ab= 13,bc=3，c120, 则 ac= （）（ a） 1（ b） 2（ c）3（ d）4【答案】 a【解析】由余弦定理得 139ac 23acac1, 选 a.8. 【 2016高考江苏卷】在锐角三角形abc 中，

5、若 sin a2sin b sinc ，则 tana tanb tanc 的最小值是.【答案】 8.【解析】 sin asin( b+c )2sin b sin ctan btan c2tan b tanc ，又 tan a=tan b+ tanc ，因tan b tan c 1-tan a tan b tanctan a tan btanc tan a2tan b tan c 22tan a tan b tan ctan a tan b tanc 8,即最小值为8.9. 【 2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）在 abc中，角 a, b, c所对的边分别是a, b, c, 且

6、 cos acosbsin c .abc（ i ）证明： sin a sin bsin c ；（ ii ）若 b2c2a26 bc ，求 tan b .5【答案】（）证明详见解析； （） 4.3最新 料推荐【解析】2226（）由已知，b +c a =bc，根据余弦定理，有cos a= b2c2a2= 32bc5所以 sin a=1cos2 a =4 5由（），sin asin b=sin acos b+cos asin b，所以 4 sin b= 4 cos b+3 sin b ，555故 tan b= sin b =4cos b10.【 2016 高考浙江理数】（本题满分14 分）在 abc

7、中，内角 a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知 b+c=2acosb.（ i ）证明： a=2b；（ ii ）若 abc的面积 s= a2 ，求角 a 的大小 .4【答案】（i ）证明见解析； （ ii ）或24【解析】（）由正弦定理得sin bsin c2sin acosb ，4最新 料推荐故 2sin a cosb sin bsin a b sin b sin a cosbcos asin b ，于是 sin sin a 又，b 0, ，故0 a b b a b或b a b，所以因此aa2b，（舍去）或所以， a2b （）由 sa2得1 ab sin ca2，故有 sin b sin

8、c1 sin 2b sin b cos b ，4242因为 sin b0 ，所以 sin ccosb 又 b ， c0, ，所以 cb 2当 bc时， a；22当 cb时， a24综上， a或 a24易错起源1、三角恒等变换3例 1、 (1)已知 为锐角，若 cos 6 5，则 cos 26 _.510(2) 已知 sin 5 ， sin( ) 10 ， ， 均为锐角，则角 等于 ()5a. 12b. 3c. 4d. 624答案(1)(2)c25 3解析 (1) 因为 为锐角， cos( 6 ) 50，所以 为锐角， sin( ) 4，66543 24则 sin(23 ) 2sin( 6 )c

9、os(6 ) 2 5525.又 cos(2 6 ) sin(2 3 ) ，5最新 料推荐 24 所以 cos(2 6 ) 25.(2) 因为 ， 均为锐角，所以 2 2 .10又 sin( ) ，10310所以 cos( ) 10 .525又 sin 5 ，所以 cos 5 ，所以 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( )531025102 5 10 5 ( 10 ) 2 .所以 4 .(1) 已知 sin7 2， cos2 7，则 sin 等于 ()【变式探究】 410254433a. 5b 5c 5d.531(2) cos10 sin170 等于 ()a 4b 2

10、c 2d 4答案(1)d(2)d 7 2解析 (1) 由 sin 4 10 ，得 sin cos4 cos sin 4 7102，7即 sin cos 5，7227又 cos2 25，所以 cos sin 25，7即 (cos sin ) (cos sin ) 25，1因此 cos sin 5. 3由得sin ，故选 d.56最新 料推荐(2)3131cos10 sin170 cos10sin10 3sin10 cos10sin10 cos1012sin20 2sin20 1 4，sin20 2故选 d.【名师点睛】(1) 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角

11、恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2) 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解【锦囊妙计，战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1) 常值代换：特别是“ 1”的代换，1 sin 2 cos2 tan45 等；(2) 项的分拆与角的配凑：如 sin 2 2cos 2 (sin 2 cos 2) cos 2， ( ) 等；(3) 降次与升次：正用二

12、倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4) 弦、切互化：一般是切化弦易错起源2、正弦定理、余弦定理1例 2、(1)(2016 课标全国丙) 在 abc中， b 4， bc边上的高等于3bc，则 cos a等于 ()3101010310a.10 b. 10 c 10 d 10(2)(2015北京 ) 在中， 3，6， 2，则 _.abcaba3b答案(1)c(2) 4解析(1) 设 abc中角 a， b， c所对的边分别为a， b， c，1112则由题意得s abc 2a 3a2acsin b， c 3 a.由余弦定理得22c2 2cosbbaac7最新 料推荐a2 2 22 2 252，9aa3

13、 a29ab5.3 a522 22cos ab2 c2 a29a9a a102bc52 10 .2 3a 3 a故选 c.6sin2sina32(2)sin bb 2 ，由正弦定理得a 3因为a为钝角，所以 .b4【变式探究】如图，在abc中， d是 bc上的点， ad平分 bac， abd面积是 adc面积的 2 倍sin b(1) 求；sin c2(2) 若 ad1， dc 2 ，求 bd和 ac的长(2) 因为 s abd s adc bddc，所以 bd 2.在 abd和 adc中，由余弦定理知222ab ad bd2ad bdcos adb，222ac ad dc2ad dccos

14、adc.8最新 料推荐22222故 ab 2ac 3ad bd2dc 6，由 (1) 知 ab 2ac，所以 ac 1.【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【锦囊妙计，战胜自我】abca1正弦定理： 在 abc中，sin asin b sin c 2r( r为 abc的外接圆半径 ) 变形： a 2rsin a，sin a2r， a b csin asin bsin c等2余弦定理：在 abc中，2b2c2 2 cos ；a

15、bc a变形： b2c2 a2 2bccosa， cos ab2c22a.2bc易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例 3(2015 山东 ) 设 f ( x) sin xcosx cos 2x .4(1) 求 f ( x) 的单调区间；a(2) 在锐角 abc中，角 a， b， c的对边分别为 a， b， c. 若 f 2 0， a 1，求 abc面积的最大值解 (1) 由题意知 f ( x) sin2 x 1 cos 2x 222sin2 x1 sin2 x122 sin2 x2.由 2 2 2k， z，2kx2k可得4 k x 4 k， k z；3由 2 2k2x2 2k， k z，

16、3可得4 k x 4 k ，k z.所以 f ( x) 的单调递增区间是 k， k ( kz) ；44单调递减区间是 k ， 3k ( k z) 449最新 料推荐(2) 由 faa1 0，得 sina 1， sin222由题意知a3为锐角，所以 cos .a2由余弦定理 a2 b2 c22bccos a，可得 1 3bc b2 c22bc，即 bc23，且当 b c 时等号成立因此1sin2 3.2bca4所以 abc面积的最大值为23.4【变式探究】已知函数f ( x) cos 2x23sin xcos x sin 2x.(1) 求 f ( x) 的最小正周期和值域；a2(2) 在 abc中，角 a， b， c所对的边分别是