三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质22249

1、最新 料推荐三角形“四心”向量形式的充要条件应用是 abc 的重心oaoboc0 ;1 o若 o是 abc 的重心，则 sb ocsaocsaob1s ab c 故 oa ob oc 0 ;3u u uru u uru u uru u urg 为 abc 的重心 .pg1 ( papbpc)32o是 abc 的垂心oaobob ococ oa ;若 o是 abc ( 非直角三角形 ) 的垂心，则 sboc：s aoc：saobtan a：tan b tan c故 tan a oatan bobtan c oc03o是 abc 的外心| oa | | ob | | oc |( 或 oa222)o

2、boc：sin：aobsin2a : sin2b : sin2c若 o是 abc 的外心则 s bocs aoc s aobboc sinaoc sin故 sin 2a oasin 2bobsin 2c oc04o是内心abc 的充要条件是oa( abac)ob (babc)oc( cacb) 0| ab|ac| ba| | bc| ca| | cb|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记ab ,bc , ca 的单位向量为 e1 , e2 , e3，则刚才 o是abc 内心的充要条件可以写成oa (e1e3 ) ob (e1e2 ) oc (e2e3 ) 0，o 是abc 内心 的充 要条

3、件也 可 以是 aoabobcoc0。 若 o 是abc 的 内心 ， 则s boc ： s aoc ： s aoba： b ： c故aoabobcoc0或 sin a oasin bob sin c oc0;uuuruuuruuur uuuruuur uuurrp 是 abc 的内心 ;a| ab | pc| bc | pa|ca | pb0e1e2uuuruuur向量(abac)(0) 所在直线过abc 的内心 ( 是bac 的角平bcuuuruuur| ab | ac |分线所在直线 ) ；( 一) 将平面向量与三角形内心结合考查p例1 o 是 平 面 上 的 一 定 点 ， a,b,c

4、是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点p 满 足op oa ( abac ) ，0,则 p 点的轨迹一定通过abc 的（）abac（a）外心（ b）内心（ c）重心（ d）垂心解析：因为 abuuuruuuruuur是向量 ab 的单位向量设ab 与 ac 方向上的单位向量分别为e1和 e2 ，又ab- 1 -最新 料推荐op oa ap ，则原式可化为ap(e1 e2 ) ，由菱形的基本性质知ap 平分bac ，那么在abc中， ap平分bac ，则知选 b.(二 ) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 h 是 abc所在平面内任一点， ha hbhb hchc h

5、a点h 是abc的垂心.2由 ha hbhb hchb ( hcha )0hb ac0hb ac ,同理 hcab ， ha bc . 故 h 是 abc的垂心 .（反之亦然（证略）例 3.( 湖南 )p 是 abc所在平面上一点，若 pa pbpb pcpcpa ，则 p 是 abc的（ d）a外心b内心c重心d垂心解析 : 由 pa pb pbpc得 pa pbpb pc 0. 即 pb ( papc)0,即 pb ca0则 pbca,同理 pabc , pcab所以 p 为abc 的垂心 .故选 d.( 三 ) 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4g是 abc所在平面内一点，

6、 gagbgc =0点 g是 abc的重心 .证明作图如右，图中 gb gcge连结be和cece=gb be=gc bgced是bc的中点，ad为bc，则，为平行四边形边上的中线 .将 gbgcge代入gagb gc =0，得 gaeg =0gage2gd ，故 g是 abc的重心 . （反之亦然（证略）例 5p 是 abc所在平面内任一点 . g是 abc的重心pg1 (papbpc) .3证明pgpaagpbbgpccg3pg( agbg cg ) ( papbpc )g是 abc的重心 gagb gc =0agbgcg =0，即 3pgpapbpc由此可得 pg1 (papb pc)

7、. （反之亦然（证略）3uuuruuuruuurr是 abc例 6 若 o 为 abc 内一点， oaoboc0 ，则 o的（）a内心b 外心c 垂心d重心uuuruuuruuurruuuruuuruuur解析：由 oaoboc0 得 obocoa ，如图以 ob、 oc 为相邻两边构作平行四边形，则- 2 -最新 料推荐uuuruuuruuuruuur1 uuurobocod ，由平行四边形性质知oeod ， oa 2 oe ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 d。2( 四)将平面向量与三角形外心结合考查uuuruuuruuur例 7 若 o 为 abc 内一点， oaoboc

8、，则 o 是 abc 的（）a内心b 外心c 垂心d 重心解析：由向量模的定义知 o 到 abc 的三顶点距离相等。故 o 是 abc 的外心，选 b。( 五) 将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 op1 ， op2 ， op3 满足条件 op1 + op2 +op3 =0，| op1 |=| op2 |=| op3 |=1 ，求证p1p2p3 是正三角形 . （数学第一册（下），复习参考题五 b 组第 6 题）证明由已知 op1 + op2 =- op3，两边平方得 op1 op2 =1 ，2同理 op2 op3 =op3 op1 =1 ，2 | p1p2 |=| p2 p3 |=

9、| p3 p1 |= 3 ，从而 p1p2p3 是正三角形 .反之，若点 o是正三角形 p1p2p3 的中心，则显然有 op1 +op2+op3 =0 且| op1 |=| op2 |=| op3 |.即 o是 abc所在平面内一点，opopopopop|=|op|1p2p3 的中心.1 +2 +3 =0 且|1 |=|23点 o是正 p例 9在 abc中，已知 q、 g、 h分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： q、 g、 h三点共线，且 qg:gh=1:2。【证明】：以 a 为原点， ab 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设a(0,0) 、 b（ x1,0 ）、 c(x2,

10、y 2) ，d、e、 f 分别为 ab、bc、ac的中点，则有：d（ x1,0)、x1x 2y 2、x 2y 2)由题设可设q（x 1, y 3 )、 h (x 2, y 4 ) ,2e (2,) f (,2222x 1x 2 y2uuuuruuurx 2x 1y 2y，g (,) ah(x 2 , y,y 3 )4 ) qf (c(x 2,y2)33222uuurbc(x 2x 1 , y 2 )uuuuruuurfhq ahbceuuuuruuurgah ? bc x 2 (x 2x 1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x1 )qxy 2ad1uuuruuuurb( x ,0)q

11、 qfacuuuruuuurx 2 ( x 2x 1 )y 2 ( y 2qf ?acy 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x1 )y 22 y 22uuuurx 1 , yy 3 ) （ 2x 2x1 , 3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )qh(x 24222y22- 3 -最新 料推荐uuurx 1x1 , y 23 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x 1 ) y 2 )qg ( x 2y323632y 22( 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2x 1) y 2 )1 ( 2x 22x 1 , 3x 2 (x 2x 1) y 2 )66y2632y 221

12、 uuuur=qhuuuuruuur即 qh =3qg ，故 q、g、h 三点共线，且 qg：gh=1： 2例 10若 o、 h 分别是 abc 的外心和垂心 . 求证oh oaob oc .证明若 abc的垂心为 h，外心为 o，如图 .连bo并延长交外接圆于 d，连结 ad， cdab ，cd bc . 又垂心为 h， ah. adbc ，chab ，ah cd，chad，四边形 ahcd为平行四边形， ahdcdo oc ，故 oh oa ahoa oboc .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）

13、三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11 设 o、g、h 分别是锐角 abc的外心、重心、垂心 .求证 og1 oh3证明按重心定理g是 abc的重心og1 (oaoboc)3按垂心定理ohoa ob oc由此可得og1 oh .3一、“重心”的向量风采uuuruuuruuur【命题，则 g 是 abc 的重心如图1】 g 是 abc 所在平面上的一点，若 gagbgc 0 .cpabmagacbo图图【命题2】已知 o 是平面上一定点，a， b，c 是平面上不共线的

14、三个点，动点p 满足uuuruuuruuuruuur(0，) ，则 p 的轨迹一定通过 abc 的重心 .opoa( abac ) ，- 4 -最新 料推荐uuuruuuruuur(0，) 时，由于uuuruuur【解析】由题意 ap( ab ac ) ，当( abac ) 表示 bc 边上的中线所在直线的向量，所以动点p 的轨迹一定通过 abc 的重心，如图 .二、“垂心”的向量风采【命题 3】p 是 abc 所在平面上一点，若 pa pb pb pcpcpa ，则 p 是 abc 的垂心【解析】uuur uuuruuur uuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur uuur

15、由 pa pbpb pc ，得 pb ( papc )0 ，即 pb ca0 ，所以 pb ca 同理可证uuur uuuruuur uuurpc ab ， pa bc p 是 abc 的垂心如图 .acemcbphpafb图o图【命题4 】已知 o 是平面上一定点，a， b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足uuuruuuruuuruuurabac，(0，) ，则动点 p 的轨迹一定通过 abc 的垂心opoauuuruuurab cos bac coscuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurabuuurac，由于 uuurabuuurac0 ，【解析】由题意 apb

16、cab cos bac coscab cos b ac coscuuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruuuruuurabbcacbc即 uuuruuurbccb0, 所以 ap 表示垂直于 bc 的向量，即 p 点在过点 a 且ab cos b ac cosc垂直于 bc 的直线上，所以动点 p 的轨迹一定通过 abc 的垂心，如图 .三、“内心”的向量风采【 命 题5 】已知 i 为 abc 所 在平 面上 的一 点， 且 abc ， acb ， bca 若uuruuruur0，则 i 是 abc 的内心aiabibciccbocapiacabb图图- 5 -最新 料推荐uu

17、ruuruuuruuruuruuurbuuruuuruuur【解析】 ibiaab ， iciaac ，则由题意得 (ac) iababc ac 0 ，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurabac， babcacacababacacabuuuruuurabacuurbcuuuruuuruuuruuuruuuruuurabacabac aib cuuuruuur uuur与 uuur分别为 ab 和 ac 方向上的单位向量，aabacabacuur ai 与 bac 平分线共线，即 ai 平分 bac 同理可证： bi 平分abc ， ci 平分acb

18、 从而 i 是 abc 的内心，如图 .【命题6 】已知 o 是平面上一定点，a， b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足uuuruuuruuuruuurabac(0，) ，则动点 p 的轨迹一定通过 abc 的内心opoa，uuuruuurabacuuuruuuruuuruuur【解析】abac，当(0，bac 的平分线所在直由题意得 apuuuruuur) 时， ap 表示abac线方向的向量，故动点p 的轨迹一定通过 abc 的内心，如图 .四、“外心”的向量风采uuuuruuuuruuuur【命题 7】已知 o 是 abc 所在平面上一点，若oa2ob 2oc 2 ，则 o 是

19、abc 的外心cbaobmpoac图uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2图uuuruuuruuur 2uuur【解析】若 oaoboc ，则 oaoboc， oaoboc ，则 o 是 abc 的外心，如图。【命题7 】已知 o 是平面上的一定点，a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足uuuruuuruuuruuuruuurocuuurabuuurac， (0，) ，则动点 p 的轨迹一定通过 abc 的外心。op ob2ab cos bac cosc- 6 -最新 料推荐uuuruuuruuuruuur【解析】由于oboc过 bc 的中点，当(0， ) 时，

20、abac表示垂直于2uuuruuurab cos bac coscuuur4 条解释。），所以 p 在 bc 垂直平分线上，动点 p 的轨迹一定通过bc 的向量（注意：理由见二、 abc 的外心，如图。补充练习已知 a、 b、c是平面上不共线的三点， o是三角形 abc的重心，动点 p 满足1op =1(1 oa +1 ob +2 oc ), 则点 p 一定为三角形 abc的（ b ）322a. ab边中线的中点b.ab边中线的三等分点（非重心）c. 重心d.ab边的中点111 ob +2 oc ) 可得1.b 取 ab 边的中点m，则 oaob2om ，由 op=(oa +3op3om2mc

21、 ， mp2322mc ，即点 p 为三角形中 ab 边上的中线的一个三等分点，且点 p 不过重心，故选 b.3uuuuuruuuuuuruuuuuuruuuuuruuuuuur2在同一个平面上有22222abc 及一点满足关系式：o a bc ob ca ocuuuuuurab2 ，则为 abc 的（d）外心内心c重心d垂心uuuruuuruuur，则 p 为 abc 的2已知 abc的三个顶点 a、b、c 及平面内一点 p 满足： papbpc 0（c）外心内心c重心d垂心3已知 o是平面上一定点， a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满足：opoa( abac) ，则 p 的轨

22、迹一定通过 abc的（c）外心内心c重心d垂心4已知 abc， p 为三角形所在平面上的动点，且动点p 满足：uuuruuuruuur uuuruuuruuur0 ，则 p 点为三角形的dpa ? pcpa ? pb pb ? pc（）外心内心c重心d垂心uuuruuuruuur5已知 abc， p 为三角形所在平面上的一点，且点0 ，则 p 点p 满足： a pab pbc ? pc为三角形的（b）外心内心c重心d垂心6在三角形 abc 中，动点 p 满足： ca22cb2ab ? cp ，则 p 点轨迹一定通过 abc 的：（ b ）外心内心c重心d垂心- 7 -最新 料推荐1abacab

23、ac7. 已知非零向量 ab与ac满足 (+) bc=0且 =2 ,则 abc为( )|ab|ac|ab|ac|a. 三边均不相等的三角形b.直角三角形c.等腰非等边三角形d.等边三角形uuuruuur解析：非零向量与满足(abac) =0，即角的平分线垂直于，=，又uuuruuura| ab | ac |bcab acuuuruuur1cosaabac， a=，所以 abc为等边三角形，选 duuuruuur=| ab | ac |238.abc 的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，oboc)，则实数m= 1ohoh m(oa9. 点 o是 abc 所在平面内的一点，满足 oa obob

24、 ococ oa ，则点 o是 abc 的（ b ）（a）三个内角的角平分线的交点（b）三条边的垂直平分线的交点（c）三条中线的交点（d）三条高的交点uuuuvuuuv10.如图 1，已知点 g是 abc 的重心，过 g作直线与 ab，ac两边分别交于 m，n两点，且 amxab ，uuuvuuuv13 。any ac ，则 1xyuuuvuuuvuuuvo，证点 g是 abc 的重心，知 gagbgcuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvo，有uuuv1uuuvuuuv。又 ， ，三点共线（a不在直线mn得ag(abag )( acag )ag( abac)3m ng上），uuuvuuuu

25、vuuuv于是存在1)，, ，使得 agaman (且uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv有 agx aby ac=( abac) ，311 ，于是得 11得xy3 。3xy- 8 -最新 料推荐1、课前练习1.1 已知 o是 abc内的一点，若222oaoboc，则o是的abca、重心b、垂心c、外心d、内心1.2 在 abc中，有命题 abacbc ； abbcca0；若 abac ? abac0 ，则 abc为等腰三角形； 若 ab ? ac0 ，则 abc为锐角三角形， 上述命题中正确的是 a、b、c、d、例 1、已知 abc中，有abac? bc0 和 ab? ac1 , 试判断 abc的形状。abacabac2练习 1、已知 abc中， aba ， bcb ，b 是 abc中的最大角，若 a ? b0 ，试判断 abc的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 o是 abc所在平面内的一点，满足oa2bc22222obacocab ，则o是 abc的a、重心b、垂心c、外心d、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 p 是 abc所在平面内的一动点，且点p 满足 opo