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1、1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为，弹性模量为，泊松比；单元的边长及结点编号见图中所示。求(1) 形函数矩阵(2) 应变矩阵和应力矩阵(3) 单元刚度矩阵图11、解：设图1所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为 ，及(1) 形函数矩阵为(7分) ； (2) 应变矩阵和应力矩阵分别为(7分)，； ，；(3) 单元刚度矩阵(6分)2、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为，同时在方向相应的两顶点处分别承受大小为且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为，泊松比。试求(1) 利用对称性，取图（b）

2、所示结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。(2) 设单元结点的局部编号分别为、，为使每个单元刚度矩阵相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵。(3) 计算等效结点荷载。(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。2、解：(1) 对称性及计算模型正确(5分)(2) 正确标出每个单元的合理局部编号(3分)(3) 求单元刚度矩阵(4分)(4) 计算等效结点荷载(3分)(5) 应用适当的位移约束之后，

3、给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。(5分)对称对称作业1： 有一个等截面两节点二力杆，杆长为L，截面积为A，材料弹性模量为E。每个节点只考虑一个水平位移，对于图 (a)、(b) 所示的坐标系统和位移插值函数，分别求相应的B矩阵和单元刚度矩阵K。解：（a）、，由边界条件确定常数、：当时，；当时，可得因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：单元的几何矩阵：，即对于矩形截面梁单元，积分：为单元横截面面积。梁单元刚度矩阵 （b）、，由边界条件确定常数、：当时，；当时，可得因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：单元的几何矩阵：，即对于矩形截面梁单元，

4、积分：为单元横截面面积。梁单元刚度矩阵32、设图中i点有水平位移ui=1，试由单元刚度方程写出各链杆的反力；并证明各水平、竖向反力之和为0。解：如图，依题意有 且： 单元刚度矩阵子块通式为 由于只有i点有水平位移ui=1，其余全为0，所以各链杆的反力为： 下面证明各水平、竖向反力之和为0：得证。33、求图示单元1、2的单元刚度矩阵和应力矩阵。解：单元1：依题意， 且三角形面积，所以得几何矩阵 为计算简单，取，则得应力矩阵所以，单元刚度矩阵单元2：原理同（1），由于弹性矩阵为一与有关的常数矩阵，应力矩阵线性相关于几何矩阵,又 所以（2）中几何矩阵 故而单元刚度矩阵41、求图示三角形单元的等效结点

5、荷载已知：t=1.5cm, Wx =0 Wy =-0.003kg/cm3,P=6kg ,q=2kg/cm ，a=20cm，Rjx =-15.0111kg, Rjy =-8.9265kg。解：依题意，外荷载可以分为 三角形面积体积力 方向方向最终得到等效节点荷载42、用有限元法计算图示结构的各支座反力。E=constant, =0.15解：依题意，由于所以在单元刚度矩阵只要考虑与之对应位移不为0的元素。 -124单元 -124单元-234单元 -234单元 -124单元 -124单元-234单元 -234单元 由，得故各支座反力为：1已知平面应力问题下三节点三角形单元的节点坐标、和；单元的节点位

6、移分量、；材料弹性模量，泊松比。试求：（1）单元的形函数，和；（2）单元内应变和应力分量？ 解：(1) (2) 又由得由可得 即2图示为一个三个节点的杆单元，为坐标原点，其位移模式取为。设其为常数，试求其单元的刚度矩阵。O123L/2L/2x解： 可求得：上述三式代入 并整理得：则 由 得 单元的刚度矩阵3已知图示正方形薄板的边长为，厚度为，弹性模量为，泊松比。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷P。试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力？2134PyxaaABijmijm解：如图建立坐标系。对于单元A：i(0,a)，j(0,0)，m(a,

7、0)，由 可得对于单元B：i(a,0)，j(a,a)，m(0,a)，同理可得 整体刚阵又 可得 由可得单元A： 同理，单元B： 4已知集中载荷，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。 yx21i(2,2)j(6,3)m(5,6)3(5,4)P30解：设集中载荷P的作用点为A，则又 又 由 得 5、已知材料的弹性模量和泊松比。计算图示四面体单元的形函数；单元的刚度矩阵中的元素和。i (0,0,0)j (3,0,0)p (2,1,2)m (1,3,0) 解：同理可得:由 6、图示四边形单元受到均匀的重力载荷（单位体积载荷，沿轴负方向）作用，已知单元的厚度为常量，材料的弹性模量和泊松比。试用阶

8、高斯积分计算节点1处的等效节点载荷和单元刚度矩阵中的元素yxhx3(7,6)4(1,5)2(8,1)1(2,1)解：由 可得：又 当 时，当 时，当 时，当 时，由 可得：又由高斯积分公式可得：当 时，当 时，当 时，当 时，二、将受自重作用的等截面直杆划分成 3 个等长的单元，试分别按材料力学和有限元法的思路求解，并对结果进行比较分析。（10 分）2.如图2为一个平面超静定桁架结构，在载荷P的作用下，求各个杆的轴力。此结构可以看成由14,24,34三个杆组成的，每个杆单元的两端为杆单元的结点，各结点的水平，铅直位移分别用u、v表示。解：由题意可得：各杆件在局部坐标系下的单元刚度矩阵： 1 0

9、 -1 0 0 0 0 0ke=EA/L -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0图2 桁架超静定结构对于14杆转角=/2+，cos=-cos，sin=sin， sin -cos 0 0 cos sin 0 0故T14= 0 0 sin -cos 0 0 cos sin sin2 sin* cos -sin2 -sin* cos对于K14=T14 T*K14 *T14=EA/L* -sin* cos cos2 sin* cos -cos2 -sin2 -sin* cos sin2 sin* cos sin* cos -cos2 -sin* cos cos2对于24杆转角=

10、90，则有： 0 0 0 0 0 1 0 -1K24= EA/L* 0 0 0 0 0 -1 0 1对于34杆转角=/2-，cos=cos，sin=-sin，cos -sin 0 0 -sin cos 0 0故T34= 0 0 -cos sin 0 0 -sin cos 对于K34=T34 T*K34 *T34 -sin2 sin* cos -sin2 -sin* cos 0 0 0 0 sin* cos cos2 -sin* cos cos2 0 0 0 0 sin2 sin* cos 0 0 0 0 -sin2 -sin* cos Ke=K14+K24+K34=EA/L* -sin* co

11、s cos2 0 -1 0 -1 -sin* cos cos2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -sin2 -sin* cos 0 0 sin2 sin* cos 0 0 -sin* cos -cos2 0 0 sin* cos cos2利用K*0 0 u v 0 0 0 0=0 0 0 P 0 0 0 0，可以解得u，v的值。对于杆单元14时，14=K14*q14可以求得；对于杆单元24时，24=K24*q24可以求得；对于杆单元34时，34=K34*q34可以求得。3.如图3所示的钢架中，两杆为尺寸相等的等截面杆件，横截面积为A=0.5m2，截面惯

12、性矩为I=1/24m4，E=3*107kpa，求解此结构。图3 钢架解：将杆件单元标出单元号码及结点号码（如图所示），钢架的单元参数如下：单元数为2，结点数为3，各杆件子局部坐标系下的单元刚度矩阵： -1 0 -1 0Ke=EA/L* 0 0 0 0 e=1,2 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0对于单元转角=0，故K =EA/L* 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0对于单元转角=90，故K = EA/L* 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0K=K +K

13、=EA/L* 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0由K*u v 0 0 0 0=14 -22 0 0 0 0,可以求得u，v。4.1 轴对称问题的两个单元a和b，设材料的弹性模量为E，泊松比为 = 0.15，试手算这两个单元的刚度矩阵。 解：对于单元，由题可知：单元a的截面面积为单元a的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：其中子矩阵可写为：所以的刚度矩阵为对于单元，由题可知单元的截面面积为单元的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：其中子矩阵可写为：所以单元的刚度矩阵为3.16一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸。板长12cm,宽4cm，厚1cm。材料，泊松比。均匀拉力。

14、使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。解：结点编号 12 34单元号12X坐标 012 012相邻结点13Y坐标 00 442234平面三角形单元的面积均为 应力矩阵为：单元1的应变距阵为：单元1的单元刚度矩阵为：单元2的应变距阵为：单元2的单元刚度矩阵为：总刚度矩阵为：位移分量为：载荷列阵为：因为 可以得单元1的单元应力： 单元2的单元应力： 长方形薄板内应力的精确解为：拉应力，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。3.11 如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比=0.3，

15、试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。解：此三角形单元可得：2=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0B=1/2* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -

16、8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0D=E/(1-2)* 1 0 =E/0.91* 0.3 1 0 0 0 (1-)/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0S=D*B=E/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0K=BT*D*B*t*=E/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1

17、0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7K=BT*D*B*t*=E/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在

18、单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。解：如图2=64/3，解得以下参数：a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；N1=64/3*(19-3x-y) N2=64/3*(-2-3x-3y)N3=64/3*(6-x+4y)故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0B=1/2* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0=64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0D=E/(1-2)* 1 0 0 0 (1-)/2 1 0 -3 0 4 0 -1 0单元应力矩阵S=D*B= E/13(1-2)* 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-)/2 -