第4章_随机变量的数字特征

1、第四章 随机变量的数字特征本章学习要求 1理解随机变量的数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2会求随机变量函数的数学期望3了解切贝雪夫不等式在前面两章中，我们讨论了一维随机变量和多维随机变量及其分布，知道随机现象的统计规律性可以由随机变量的分布函数完全刻画，从而，对随机现象的研究就归结于对随机变量及其分布的研究然而，在实际应用中，人们对于随机变量的精确分布有时并没有太多的兴趣，感兴趣的是一些能够反映随机变量某些特征的指标，例如：每个家庭的收入都是一个随机变量，人们常关心的是这个国家的平均家庭收入，平均收入越高，这个国

2、家就越富裕同时，若要考查这个国家的贫富分化是否严重，就要考虑各个家庭收入与平均家庭收入的偏离程度，偏离程度越小，表明分化就越小像平均数、偏离程度等等，这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某些方面特征的量统称为数字特征，它们在理论上和实际应用中有着重要的作用本章就将介绍几个重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩4.1 数学期望随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，下面先介绍离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义1 设为离散型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则称为的数学期望(也称均值(mean) (mathematical expectation)，记为即换

3、言之，离散型随机变量的数学期望就是所有可能取值的加权平均，其中每一个取值的权重等于取这个值的概率【例1】掷一个均匀的骰子，其结果是一个随机变量，设为，试求解 因为的分布律为所以【例2】在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有个人，可用两种方法进行检验：(1)将每个人的血液分别检验，这就需要检验次(2)先把受检验者分组，假设每个组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，如果检验的结果为阴性，这说明个人的血液都是阴性，因而这个人只需检验一次就够了若结果呈现阳性，为了明确个人中究竟哪个人为阳性，就需要对这个人逐一检验，这时这个人的检验次数为次，检验的工作量反而增加假设每个人检验呈

4、阳性的概率为，且这些人的试验是相互独立的试说明当较小的时候，按第二种方法可以减少检验次数解 显然，若利用第二种方法，则个人需要的检验次数可能为1次，也可能是要次，它是一个随机变量，为了和第一种方法比较工作量的大小，就需要求出它的平均值由于各人的试验都是相互独立的，并且每个人检验呈阳性的概率为，呈阴性的概率为，这时个人一组的混合血液为阴性的概率为，呈阳性的概率为令表示个人为一组混合检验时，每人所需的检验次数，由上述讨论可知的分布律为由此即可得到每个人所需的平均检验次数为按第一种方法每人应检验1次，所以当， 即 时，用分组的方法就能减少检验的次数 下面我们讨论几个典型的离散型随机变量的数学期望【例

5、3】设服从0-1分布，求解 因为的分布律为01所以【例4】设，求解 因为的分布律为所以【例5】设，求解 因为的分布律为所以若为离散型随机变量，且其分布律已知，从而的函数也是离散型随机变量，且的分布律可由的分布律计算得到，于是就可以根据数学期望的定义，求出【例6】设的分布律为-101求解 令，则的分布律为01所以 尽管用上述方法总能由的分布律求出的任一已知函数的数学期望，但通常情况下，有一种更容易的方法来计算即可以通过下面的定理来求的数学期望定理1 设为离散型随机变量，其分布律为对任一实值函数，若绝对收敛，则有这个定理的结论是很直观的，其证明过程在此略去这个定理的意义在于计算的数学期望时，不需要

6、首先计算的分布律，而只要直接利用的分布律即可将这个定理应用到例6，可得：与前面所得结果一致【例7】由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润(元)与销售内径的关系为问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?解 因为，即，令和分别为标准正态分布的分布函数和密度函数，由销售利润和的关系得：因为 当时，取最大值，所以即，故(毫米)上面的定理还可以推广到多个随机变量的函数的情况定理2 设是离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛，则有【例8】设的分布律为 求解 二、连续型随机变量的数学期望

7、定义2 设为连续型随机变量，其概率密度为，若积分绝对收敛，则称为的数学期望(或均值) (mathematical expectation)，记为即【例9】设的概率密度为求解 下面介绍几个典型的连续型随机变量的数学期望【例10】设，求 解 由于的概率密度为所以【例11】设，求 解 由于的概率密度为所以【例12】设，求 解 由于的概率密度为所以 前面，我们定义了离散型随机变量函数的数学期望，对于连续型随机变量，可类似定义定理3 设连续型随机变量的概率密度为，若绝对收敛，则有【例13】设一根长度为1的木棍被在(0，1)上服从均匀分布的点所截，求包含点的那段木棍的期望长度，其中解 的概率密度为令表示包

8、含点的那段木棍的长度，则有于是由上面的定理，得到当时， 最大，即当是木棍的中点时，包含的那段木棍的期望长度最大 上面的定理可以推广到多个随机变量时的情况定理4 设是连续型随机变量，其概率密度为，若积分绝对收敛，则有【例14】设随机变量的概率密度为求和解 由上面的定理，可得三、数学期望的性质由数学期望的定义，易知数学期望具有如下性质(假设以下所遇到的随机变量的数学期望都存在)：(1) 设是常数，则有(2) 设是一个随机变量，是常数，则有(3) 设和是两个随机变量，则有该性质可推广为：我们将在后面用几个例子说明这个公式的重要作用(4) 设和是相互独立的随机变量，则有 证明 性质(1)和(2)的证明

9、比较容易，由读者自己完成对于(3)和(4)的证明，我们只对连续型随机变量的情况加以证明，离散型随机变量的情况可类似证明 (3) 设二维随机变量的概率密度为，则令，有 (4) 因为和相互独立，故有，【例15】设服从参数为和的二项分布，求解 由于表示次独立试验中成功的次数，每次成功的概率为，我们有，其中因此，每个服从0-1分布，且有于是【例16】有个人将他们的帽子抛向屋子的中央，将帽子充分混合后，每人随机地从中取出一顶，求刚好拿到自己帽子的人数的数学期望解 设表示帽子和人刚好配对的人数，则有，其中因此，每个服从0-1分布，且由于对每个，第个人等可能地从个帽子中取出一顶，所以有因此即平均来说，刚好有

10、一个人取到自己的帽子上面的两个例子可以说明性质(3)的重要作用，建议读者将这些推导与前面所用的方法进行比较【例17】设和是两个相互独立的随机变量，且它们的概率密度分别为 试求解 因为和相互独立，所以有4.2 方差 给定一个随机变量，我们可以通过的数学期望来描述随机变量的平均取值，但是它不能说明这些值的分散程度例如：设随机变量，和的分布律依次为；则随机变量，和有相同的期望，均为0但的分散程度比大，的分散程度比大 因此，这就出现了如何合理地度量的分散程度的问题容易看到：可以度量随机变量与其均值的偏离程度但是，这个量在数学上处理不是很方便，因此，通常考虑一个更易处理的量，即与均值之差的平方的数学期望

11、从而有如下定义：定义3 设是一个随机变量，若存在则称为的方差(variance)，记为或即称为的均方差或标准差(standard deviation)，记为 若为离散型随机变量，其分布律为则 若为连续型随机变量，其概率密度为，则因为所以，方差也可按下述公式计算：也就是说，的方差等于的数学期望减去的数学期望的平方事实上，这是计算最常用的方法【例18】掷一个均匀的骰子，其结果是一个随机变量，设为，试求解 由例1知，的数学期望为，且因此，下面介绍几个常见的随机变量的方差【例19】设服从0-1分布，求解 因为的分布律为01由例3知，的数学期望为，且，因此【例20】设，求解 因为的分布律为由例4知，且

12、因此【例20】设，求解 因为的分布律为由例5知，且因此由此可知，泊松分布的数学期望和方差都是参数，又因为泊松分布由参数完全确定，所以只要知道泊松分布的数学期数学期望或方差，就可以确定它的分布了【例21】设，求 解 由于的概率密度为由例10知，且因此【例22】设，求 解 由于的概率密度为由例11知，且因此【例23】设，求 解 由于的概率密度为由例12知，因此 令，则 也就是说，正态分布中的参数和分别是该分布的数学期望和方差特别地，对于标准状态分布来说，其数学期望是0，方差是1 现在来证明方差的几个重要性质(以下设所遇到的随机变量的数学期望与方差都存在)(1) 设是常数，则证明 (2) 设是随机变

13、量，是常数，则有.证明 (3) 设是两个随机变量，则有 特别地，若和相互独立，则有证明 若和相互独立，则，于是上式右端第三项： 即事实上，这一性质可以推广到个相互独立的随机变量的情况(4) 的充分必要条件是以概率1取常数，即 证明之前，先介绍一个重要的不等式切贝雪夫(Chebyshev)不等式 定理5 设随机变量具有数学期望，方差，则对于任意正数，不等式成立 证明 我们只就连续型随机变量的情况来证明设的概率密度为，则有定理得证 性质(4)的证明如下： 证明 (充分性) 设，则有，于是(必要性) 由切贝雪夫不等式.由于，则对任意给定的，得.从而即随机变量以概率1取值为常数【例24】设服从参数为和

14、的二项分布，求解 由于表示次独立试验中成功的次数，每次成功的概率为，我们有，其中由例19知，且相互独立，从而 上例说明性质(3)的重要作用，其推导过程可与例20相比较，计算过程简便得多【例25】设，且和相互独立，求解 由于和相互独立，所以. 事实上，若，且它们相互独立，则它们的线性组合： (是不全为0的常数)仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知【例26】设，求，解 由于，所以也服从正态分布,.即 也就是说，对于任意一个正态随机变量，总可以通过变换，使其化为标准正态分布【例27】设随机变量和的数学期望都是2，方差分别为2和4，且和相互独立，根据切贝雪夫不等式，求解 由于和相互独立，所以

15、，即 由切贝雪夫不等式，得4.3 协方差和相关系数如同数学期望和方差能够描述单个随机变量的特征一样，本节我们讨论两个随机变量和之间相互关系的数字特征如果两个随机变量是相互独立，则有若它们不独立，即，则说明它们存在一定的相关关系对于两个随机变量之间相互关系的数字特征，我们用两个变量的协方差(covariance)来描述： 定义4 随机变量和的协方差定义为当时，称为随机变量和的相关系数(correlation coefficient) 将协方差的定义式展开，得我们常用这个式子来计算协方差 由协方差的定义，可以得到如下性质：(1) ；(2) ；(3) ；上式还可以推广到个随机变量时的情况； (4)

16、； (5) 若随机变量和相互独立，则，从而该命题的逆命题不成立，即协方差为零，并不能说明两个随机变量相互独立【例28】设分布律为 求解 由于，且所以 然而，易见随机变量和不独立【例29】设服从上均匀分布，求解 由 可得 因此 同理 而 ，因此 然而，易见随机变量和不独立 下面我们来推导相关系数的两条重要性质，并说明其含义定理6 (1) (2) 的充要条件是，存在常数使 证明 (1) 假设随机变量和的方差分别为和，则由协方差的性质，可得.这意味着类似地， .这意味着 因此，(2) 必要性. 若，则由上面的证明，有，这意味着以概率1取值为一个常数，即意味着，其中类似地，若，则有，这意味着以概率1取

17、值为一个常数，即意味着，其中充分性. 若，则.又，因此 由定理6中的(2)，当时，和之间以概率1存在线性关系特别地，当时，称为正线性相关；当时，称为负线性相关且当较小时，说明和之间的线性相关程度较弱；当较大时，和之间的线性相关程度较强当时，称随机变量和不相关 【注】若两个随机变量相互独立，可以推出它们的相关系数为0但反之不成立，不相关并不能推出相互独立由例29知，从而，即和不相关，但和并不相互独立【例30】设，它的概率密度为.求解 由前面的知识，可以知道而令，则有因此这就是说，二维正态分布随机变量的概率密度中的参数就是和的相关系数 结合第三章例13知，对于二维正态分布随机变量来说，不相关和相互

18、独立是等价的4.4 矩和协方差矩阵前面我们讨论了随机变量的数学期望，方差和协方差等数字特征，本节我们介绍随机变量的另外几个数字特征由数学期望的定义式，可以看到这些计算公式与物理学中静力矩和惯性矩的计算式相似，借用物理学中“矩”的名字，分别称为一阶原点矩(简称一阶矩)，二阶原点矩(简称二阶矩)于是对任意正数，可以自然的定义，如果它们存在的话，称是随机变量的阶原点矩(k-origin moment) 注意到方差的定义式，可以自然地将其推广得到若存在的话，则称它为的阶中心矩(k-central moment) 以上考虑的是一维随机变量的矩，对于多维随机变量，如对二维随机变量来说，我们有，若它们存在，

19、则分别称为阶混合矩(hybrid moments)和阶混合中心矩，其中为正数特别地，当时，二阶混合中心矩就是前面提到过的协方差 令，它的转置为，这时的数学期望为类似于一维随机变量，可以对定义二阶中心矩：因而这个矩阵称为随机变量的协方差矩阵(covariance matrix) 对于维随机变量来说，可作类似推广.令若它们都存在，则称矩阵为维随机变量的协方差矩阵显然，协方差矩阵是对称矩阵协方差矩阵的引入使得一些原本复杂的表达式变得简洁，而且从数学处理上，变得更加容易例如：设，则它的概率密度为由上面的计算知，的协方差矩阵为，故从而令， 这时不难验证有 于是，的概率密度可以改写为.上式可以推广到维随机

20、变量的情况若， 维正态随机变量的概率密度定义为其中C是的协方差矩阵本章小结 在本章中，我们讨论了能够描述随机变量某方面特征的量，即随机变量的数字特征最重要的两个数字特征是数学期望和方差数学期望描述了随机变量取值的平均大小，方差描述的是随机变量与其自己的数学期望的偏离程度.设是离散型随机变量，其分布律为则，设为连续型随机变量，其概率密度为，则， 对于随机变量的函数的数学期望，我们定义如下：，上述公式的意义在于当我们求随机变量函数的数学期望时，不必先把的分布律或密度函数求出，而是直接利用的分布律或密度函数进行计算，这大大简化了运算 类似地，可以将函数的数学期望推广到多维随机变量函数的数学期望例如：

21、，由上述定义，可得数学期望有如下线性性质：， 其中为常数特别地，当和相互独立或不相关时，有方差的常用计算公式为.方差和数学期望的性质有很大的不同，读者需要注意：(1)，其中为常数注意右边的系数为，而不是；(2)，当和相互独立或不相关时，有；(3)即使和相互独立或不相关，也不一定有 随机变量和的协方差定义为协方差常用的计算公式为且有恒等式 随机变量和的相关系数定义为.相关系数有时也称线性相关系数，它用来描述两个随机变量之间的线性相关程度当较小时，说明和之间的线性相关程度较弱；当较大时， 和之间的线性相关程度较强当时，称随机变量不相关注意不相关指的是不存在线性关系，它们之间可能还存在其它关系 若和

22、相互独立，则和一定不相关；但反之不成立特别地，对于二维正态随机变量，和相互独立与和不相关是等价的而二维正态随机变量的相关系数就是参数，于是，检验和是否相互独立，只需检验参数是否为零 在本章的最后，我们还介绍了随机变量的另外一些数字特征：矩和协方差矩阵，它们在理论和实际应用中都起着重要的作用习题A 1设随机变量的分布律为012求：，及 2把4个球随机地投入4个盒子中，设表示空盒子的个数，求：和3设随机变量的概率密度为求：和 4设随机变量的概率密度为求：和 5设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求 6已知随机变量服从参数为2的泊松分布，求7设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，一周5个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，或利润0元；若发生3次或3次以上故障就要亏损2万元求一周内的利润期望8设某工厂生产的圆盘，其直径在区间上服从